Algebra di LIE - relazione fra Gln e Sln
Buonasera, dovrei dimostrare che se, come di consueto, Gln è il gruppo delle matrici quadrate di dimensione n e Sln è quello delle analoghe matrici con traccia 0, [Gln, Gln] = Sln, dove [] è l'operatore di LIE: tale che per ogni A e B in Gln [A B]= AB-BA.
L'implicazione che [Gln, Gln] è incluso in Sln è semplice e mi è chiara. Quello che non riesco a dimostrare è il viceversa cioè che Sln include [Gln, Gln] ovvero che ogni matrice a traccia 0 può essere scritta come bracket di due matrici qualsiasi. O forse devo cercare un'altra strada per provare l'uguaglianza? Grazie anticipate per qualsiasi aiuto
L'implicazione che [Gln, Gln] è incluso in Sln è semplice e mi è chiara. Quello che non riesco a dimostrare è il viceversa cioè che Sln include [Gln, Gln] ovvero che ogni matrice a traccia 0 può essere scritta come bracket di due matrici qualsiasi. O forse devo cercare un'altra strada per provare l'uguaglianza? Grazie anticipate per qualsiasi aiuto
Risposte
Premesso che \(\displaystyle\mathfrak{gl}_n\mathbb{R}\) è un'algebra (reale di Lie) e non un gruppo;
hai per costruzione che \(\displaystyle\mathfrak{gl}_n^{\prime}\mathbb{R}=[\mathfrak{gl}_n\mathbb{R},\mathfrak{gl}_n\mathbb{R}]\) è un ideale, quindi puoi considerare l'algebra quoziente: con un semplice calcolo ottieni che questa è un'algebra commutativa.
Potresti dimostrare che \(\displaystyle\mathfrak{gl}_n^{\prime}\mathbb{R}\) è il massimo ideale di \(\displaystyle\mathfrak{gl}_n\mathbb{R}\) con questa proprietà e da ciò evincere che \(\displaystyle\mathfrak{gl}_n^{\prime}\mathbb{R}=\mathfrak{sl}_n\mathbb{R}\).
Spero che sia tutto chiaro...
hai per costruzione che \(\displaystyle\mathfrak{gl}_n^{\prime}\mathbb{R}=[\mathfrak{gl}_n\mathbb{R},\mathfrak{gl}_n\mathbb{R}]\) è un ideale, quindi puoi considerare l'algebra quoziente: con un semplice calcolo ottieni che questa è un'algebra commutativa.
Potresti dimostrare che \(\displaystyle\mathfrak{gl}_n^{\prime}\mathbb{R}\) è il massimo ideale di \(\displaystyle\mathfrak{gl}_n\mathbb{R}\) con questa proprietà e da ciò evincere che \(\displaystyle\mathfrak{gl}_n^{\prime}\mathbb{R}=\mathfrak{sl}_n\mathbb{R}\).
Spero che sia tutto chiaro...
Grazie e scusa l'errore iniziale.
Ma mi sembrava di aver capito che se gln è un algebra di Lie è sempre vero che gln=[gln,gln]. Non è giusto? Mi sfugge qualche cosa?
Ma mi sembrava di aver capito che se gln è un algebra di Lie è sempre vero che gln=[gln,gln]. Non è giusto? Mi sfugge qualche cosa?
Secondo me è più semplice considerare una base esplicita di \(\mathfrak{sl}(n)\) e costruire per ciascun elemento \(E_{ij}\) di tale base due matrici \(A, B\) tali che \([A, B]=E_{ij}\). Per esempio,
\[
\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \Big[ \begin{bmatrix} 1& 0 \\ 0 &0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0\end{bmatrix} \Big],\]
quindi \(\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \) appartiene a \([\mathfrak{gl}(2), \mathfrak{gl}(2)]\).
Quanto alla seconda domanda, mi permetto di rispondere io: dalla definizione di algebra di Lie si ha solo che
\[
[\mathfrak{gl}(n), \mathfrak{gl}(n)]\subset \mathfrak{gl}(n), \]
nessuno garantisce che ci sia uguaglianza. Ad esempio, qualsiasi algebra commutativa ha il membro sinistro ridotto a zero, in questa inclusione.
\[
\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \Big[ \begin{bmatrix} 1& 0 \\ 0 &0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0\end{bmatrix} \Big],\]
quindi \(\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \) appartiene a \([\mathfrak{gl}(2), \mathfrak{gl}(2)]\).
Quanto alla seconda domanda, mi permetto di rispondere io: dalla definizione di algebra di Lie si ha solo che
\[
[\mathfrak{gl}(n), \mathfrak{gl}(n)]\subset \mathfrak{gl}(n), \]
nessuno garantisce che ci sia uguaglianza. Ad esempio, qualsiasi algebra commutativa ha il membro sinistro ridotto a zero, in questa inclusione.
Attenzione che ho indicata la sottoalgebra di Lie derivata con un apice...
si, si ho capito.
Poi ho anche verificato che un'algebra di lie L=[L,L] sse non risolubile, quindi non in generale.
Grazie ancora a tutti e buona domenica
Poi ho anche verificato che un'algebra di lie L=[L,L] sse non risolubile, quindi non in generale.
Grazie ancora a tutti e buona domenica
Prego, ma alla fine come hai risolto? Sono curioso. (Per favore usa queste istruzioni per scrivere le [formule][/formule] (clic), grazie).
[ot]Corso di istituzioni di Algebra superiore?[/ot]
"dissonance":
Prego, ma alla fine come hai risolto? Sono curioso. (Per favore usa queste istruzioni per scrivere le [formule][/formule] (clic), grazie).
Ho seguito il tuo suggerimento, cioè ho calcolato il bracket sugli elementi della base. Grazie
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