Regola della catena in spazio affine
Sto studiando meccanica razionale e ho qualche problema a capire un concetto matematico. Prima presenterò il contesto generale e poi alla fine la domanda vera e propria, riguardante un'applicazione della regola della catena. Spero sia giusta la sezione, dovendo trattare concetti sia di analisi che geometria.
Considero $(\mathbb{E},V,f)$, spazio affine dove $\mathbb{E}$è un insieme di "punti", $V$ è uno spazio vettoriale di vettori geometrici liberi. Dato un segmento orientato $\vec{AB}$ ($A,B \in \mathbb{E})$, sia $\mathbf{v}=[\vec{AB}]$ la sua classe di equipollenza: questo è ciò che intendo con elemento dello spazio vettoriale $(V,+,\cdot)$.
$f: \mathbb{E} \times V\rightarrow V$ mappa ogni $P \in \mathbb{E}$ e $\mathbf{v}$ ad un unico $Q$, interpretabile come $P$ traslato di $\mathbf{v}$. Da qui si deduce l'esistenza dell'unica funzione g $g: \mathbb{E}^2 \rightarrow V$ tale che $g(Q,P)=\mathbf{v}$. Indicherè $g(P,Q)$ con $P-Q=\mathbf{QP}$ (userò il segno $-$ anche per indicare l'opposto di un elemento di $V$).
Scelto un riferimento ortonormale $R=\{O,\mathbf{i}_1,\mathbf{i}_2,\mathbf{i}_3\ \}$ chiamo $\mathbf{v}_P(t)=\frac{dP}{dt}(t):=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{P(t+h)-P(t)}{h}\stackrel{(1)}{=}\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\mathbf{OP}(t+h)-\mathbf{OP}(t)}{h}\stackrel{(2)}{=}\dot{x}(t)\mathbf{i}_1+\dot{y}(t)\mathbf{i}_2+\dot{z}(t)\mathbf{i}_3$, con $\mathbf{OP}(t)=x(t)\mathbf{i}_1+y(t)\mathbf{i}_2+z(t)\mathbf{i}_3$ (non sono completamente sicuro di $\stackrel{(1)}{=}$ e$\stackrel{(2)}{=}$, soprattutto della $\stackrel{(1)}{=}$).
Intoduco le funzioni $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ $q_1,...,q_n$ e scrivo $P=P(q_1,...,q_n,t)$ e definisco la derivata parziale come segue: $\frac{\partial P}{\partial q_k}(t) =\lim_{h \rightarrow 0}\frac{P(q_1,...,q_k+h,...,t)-P(q_1,...,q_k,...,t)}{h} $ (con gli stessi dubbi delle uguaglianze $\stackrel{(1)}{=}$ e$\stackrel{(2)}{=}$). La mia domanda è come esprimere $\frac{dP}{dt}(t)$.
Dalla teoria avrei $\frac{dP}{dt}=\sum_{i=1}^n \frac{\partial P}{\partial q_k} \dot{q}_k + \frac{\partial P}{\partial t} $, ma non riesco a capire quale versione della regola della catena sia usata.Il teorema della derivata della composta di due funzioni sufficientemente regolari si applica nel caso $f:\mathbb{R}^p \rightarrow\mathbb{R}^m$, $g:\mathbb{R}^n \rightarrow\mathbb{R}^p$ e restituisce lo Jacobiano $f \circ g $. Se valesse $\stackrel{(1)}{=}$ pensavo di servirmi dell'isomorfismo tra l'insieme degli $\mathbf{OP}$ e $\mathbb{R}^3$ dato dalla mappa delle coordinate, e lavorare quindi con $x(q_1,...,t),y(q_1,...,t)...$.
In tal caso si potrebbero fare i calcoli seguenti. Sia data$f(g(t))=(x(g(t)),y(g(t)),y(g(t) )^T, g(t)=(q_1(t),...,t)^T$. Allora $J(f \circ g) = ( \sum_{i=1}^n \frac{\partial x}{\partial q_k} \dot{q}_k + \frac{\partial x}{\partial t} ,\sum_{i=1}^n \frac{\partial y}{\partial q_k} \dot{q}_k + \frac{\partial y}{\partial t} ,\sum_{i=1}^n \frac{\partial z}{\partial q_k} \dot{q}_k + \frac{\partial z}{\partial t} )^T$. Questo sembra incoraggiante, e dovrebbe essere corretto se si può lavorare con l'isomorfismo come ho fatto io e se $\stackrel{(1)}{=}$ e$\stackrel{(2)}{=}$ (con le derivate parziali) sono valide.
Detto questo la questione è come effettivamente dimostrare la formula imparata alla teoria, e se il mio procedimento ha qualche validità. Grazie a tutti in anticipo!
Considero $(\mathbb{E},V,f)$, spazio affine dove $\mathbb{E}$è un insieme di "punti", $V$ è uno spazio vettoriale di vettori geometrici liberi. Dato un segmento orientato $\vec{AB}$ ($A,B \in \mathbb{E})$, sia $\mathbf{v}=[\vec{AB}]$ la sua classe di equipollenza: questo è ciò che intendo con elemento dello spazio vettoriale $(V,+,\cdot)$.
$f: \mathbb{E} \times V\rightarrow V$ mappa ogni $P \in \mathbb{E}$ e $\mathbf{v}$ ad un unico $Q$, interpretabile come $P$ traslato di $\mathbf{v}$. Da qui si deduce l'esistenza dell'unica funzione g $g: \mathbb{E}^2 \rightarrow V$ tale che $g(Q,P)=\mathbf{v}$. Indicherè $g(P,Q)$ con $P-Q=\mathbf{QP}$ (userò il segno $-$ anche per indicare l'opposto di un elemento di $V$).
Scelto un riferimento ortonormale $R=\{O,\mathbf{i}_1,\mathbf{i}_2,\mathbf{i}_3\ \}$ chiamo $\mathbf{v}_P(t)=\frac{dP}{dt}(t):=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{P(t+h)-P(t)}{h}\stackrel{(1)}{=}\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\mathbf{OP}(t+h)-\mathbf{OP}(t)}{h}\stackrel{(2)}{=}\dot{x}(t)\mathbf{i}_1+\dot{y}(t)\mathbf{i}_2+\dot{z}(t)\mathbf{i}_3$, con $\mathbf{OP}(t)=x(t)\mathbf{i}_1+y(t)\mathbf{i}_2+z(t)\mathbf{i}_3$ (non sono completamente sicuro di $\stackrel{(1)}{=}$ e$\stackrel{(2)}{=}$, soprattutto della $\stackrel{(1)}{=}$).
Intoduco le funzioni $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ $q_1,...,q_n$ e scrivo $P=P(q_1,...,q_n,t)$ e definisco la derivata parziale come segue: $\frac{\partial P}{\partial q_k}(t) =\lim_{h \rightarrow 0}\frac{P(q_1,...,q_k+h,...,t)-P(q_1,...,q_k,...,t)}{h} $ (con gli stessi dubbi delle uguaglianze $\stackrel{(1)}{=}$ e$\stackrel{(2)}{=}$). La mia domanda è come esprimere $\frac{dP}{dt}(t)$.
Dalla teoria avrei $\frac{dP}{dt}=\sum_{i=1}^n \frac{\partial P}{\partial q_k} \dot{q}_k + \frac{\partial P}{\partial t} $, ma non riesco a capire quale versione della regola della catena sia usata.Il teorema della derivata della composta di due funzioni sufficientemente regolari si applica nel caso $f:\mathbb{R}^p \rightarrow\mathbb{R}^m$, $g:\mathbb{R}^n \rightarrow\mathbb{R}^p$ e restituisce lo Jacobiano $f \circ g $. Se valesse $\stackrel{(1)}{=}$ pensavo di servirmi dell'isomorfismo tra l'insieme degli $\mathbf{OP}$ e $\mathbb{R}^3$ dato dalla mappa delle coordinate, e lavorare quindi con $x(q_1,...,t),y(q_1,...,t)...$.
In tal caso si potrebbero fare i calcoli seguenti. Sia data$f(g(t))=(x(g(t)),y(g(t)),y(g(t) )^T, g(t)=(q_1(t),...,t)^T$. Allora $J(f \circ g) = ( \sum_{i=1}^n \frac{\partial x}{\partial q_k} \dot{q}_k + \frac{\partial x}{\partial t} ,\sum_{i=1}^n \frac{\partial y}{\partial q_k} \dot{q}_k + \frac{\partial y}{\partial t} ,\sum_{i=1}^n \frac{\partial z}{\partial q_k} \dot{q}_k + \frac{\partial z}{\partial t} )^T$. Questo sembra incoraggiante, e dovrebbe essere corretto se si può lavorare con l'isomorfismo come ho fatto io e se $\stackrel{(1)}{=}$ e$\stackrel{(2)}{=}$ (con le derivate parziali) sono valide.
Detto questo la questione è come effettivamente dimostrare la formula imparata alla teoria, e se il mio procedimento ha qualche validità. Grazie a tutti in anticipo!
Risposte
Non esagerare, non c'è niente di tanto profondo qui (anche se, con questi ragionamenti, stai piano piano riscoprendo le idee di base della geometria differenziale).
Per fare calcoli con derivate e integrali, devi essere su \(\mathbb R^n\). E come ti metti su \(\mathbb R^n\)? Scegliendo delle coordinate: in questo caso, devi scegliere un riferimento ortonormale. I conti li farai in queste coordinate. Devi però verificare che se fai i conti in un sistema di coordinate, e poi li rifai in un altro, ottieni sempre lo stesso risultato. Nel caso degli spazi affini, è facile. (La geometria differenziale si propone di fare la stessa cosa su spazi più complicati).
Per fare calcoli con derivate e integrali, devi essere su \(\mathbb R^n\). E come ti metti su \(\mathbb R^n\)? Scegliendo delle coordinate: in questo caso, devi scegliere un riferimento ortonormale. I conti li farai in queste coordinate. Devi però verificare che se fai i conti in un sistema di coordinate, e poi li rifai in un altro, ottieni sempre lo stesso risultato. Nel caso degli spazi affini, è facile. (La geometria differenziale si propone di fare la stessa cosa su spazi più complicati).
Il fatto è che non avendo mai fatto ragionamenti di questo tipo e non sapendo geometria differenziale (nè tanto meno geometria affine) non sapevo come giustificare un risultato alla luce delle mie (modeste) conoscenze. Ti ringrazio per la tua risposta. Da quanto ho capito quindi quello che ho fatto va bene ma non è scontato (e andrebbe dimostrato) che potrei fare lo stesso con un altro sistema di coordinate?
Il punto è questo. A un certo punto tu stesso hai scritto una definizione (hai pure usato \(:=\), quindi eri consapevole 
). Hai scritto
\[
\frac{dP}{dt}:=\lim_{h\to 0}\frac{ OP(t+h)-OP(t)}{h}.\]
E qui manca una cosa. Nel membro destro compare \(O\), che è un punto scelto arbitrariamente, e che non compare nel membro sinistro. È un principio fondamentale della matematica che, affinché tale definizione sia ben posta, il membro destro deve essere indipendente dalla scelta di \(O\). (Se non ho capito male, la critica che si fa alla recente "dimostrazione" di Atiyah della congettura di Riemann è proprio che una delle sue definizioni non è ben posta).
Bisogna quindi dimostrare che
\[
\lim_{h\to 0}\frac{ OP(t+h)-OP(t)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{ O'P(t+h)-O'P(t)}{h},\qquad \forall O, O'.
\]
). Hai scritto \[
\frac{dP}{dt}:=\lim_{h\to 0}\frac{ OP(t+h)-OP(t)}{h}.\]
E qui manca una cosa. Nel membro destro compare \(O\), che è un punto scelto arbitrariamente, e che non compare nel membro sinistro. È un principio fondamentale della matematica che, affinché tale definizione sia ben posta, il membro destro deve essere indipendente dalla scelta di \(O\). (Se non ho capito male, la critica che si fa alla recente "dimostrazione" di Atiyah della congettura di Riemann è proprio che una delle sue definizioni non è ben posta).
Bisogna quindi dimostrare che
\[
\lim_{h\to 0}\frac{ OP(t+h)-OP(t)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{ O'P(t+h)-O'P(t)}{h},\qquad \forall O, O'.
\]
Grazie mille
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