Prodotto scalare
Sapreste spiegarmi perché il prodotto scalare nello spazio delle matrici è una generalizzazione di quello tra vettori?
So che il prodotto è definito come la traccia della trasposta di una matrice per l'altra.
Ma non avendo molte altre informazioni non capisco quando sia possibile svolgerlo né come sia connesso al sopracitato prodotto scalare nello spazio dei vettori.
Grazie a tutti per i chiarimenti
So che il prodotto è definito come la traccia della trasposta di una matrice per l'altra.
Ma non avendo molte altre informazioni non capisco quando sia possibile svolgerlo né come sia connesso al sopracitato prodotto scalare nello spazio dei vettori.
Grazie a tutti per i chiarimenti
Risposte
Ciao,
Che cosa intendi per "vettori"? Lo spazio \(M_{m\times n}(\mathbb{K})\) delle matrici a coefficienti nel campo \(\mathbb{K}\) è uno spazio vettoriale, che dà ai suoi elementi il nome di vettori.
Se \(A=(\alpha_{i}),B=(\beta_i)\in M_{1\times n}(\mathbb{R})\), l'applicazione \(\langle\cdot,\cdot\rangle:(A,B)\mapsto {\sum_{i=1}^{n}\alpha_i\beta_i}\) è il classico prodotto scalare "in \(\mathbb{R}^n\)". Se \(A\) e \(B\) sono due matrici \(n\times n\) a coefficienti dove vuoi tu, anche \((A,B)\mapsto\operatorname{tr}(AB)\) è un prodotto scalare.
Riesci a esprimere più chiaramente che cosa intendi con "quando sia possibile svolgerlo"? Vuoi una dimostrazione del fatto che per \(A,B\in\,?\), \((A,B)\mapsto \operatorname{tr}({^t}AB)\) è un prodotto scalare? Vuoi capire chi è \(?\)?
"bernardo1504":
di quello tra vettori
Che cosa intendi per "vettori"? Lo spazio \(M_{m\times n}(\mathbb{K})\) delle matrici a coefficienti nel campo \(\mathbb{K}\) è uno spazio vettoriale, che dà ai suoi elementi il nome di vettori.
Se \(A=(\alpha_{i}),B=(\beta_i)\in M_{1\times n}(\mathbb{R})\), l'applicazione \(\langle\cdot,\cdot\rangle:(A,B)\mapsto {\sum_{i=1}^{n}\alpha_i\beta_i}\) è il classico prodotto scalare "in \(\mathbb{R}^n\)". Se \(A\) e \(B\) sono due matrici \(n\times n\) a coefficienti dove vuoi tu, anche \((A,B)\mapsto\operatorname{tr}(AB)\) è un prodotto scalare.
"bernardo1504":
Ma non avendo molte altre informazioni
Riesci a esprimere più chiaramente che cosa intendi con "quando sia possibile svolgerlo"? Vuoi una dimostrazione del fatto che per \(A,B\in\,?\), \((A,B)\mapsto \operatorname{tr}({^t}AB)\) è un prodotto scalare? Vuoi capire chi è \(?\)?
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