Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
Ciao, mi sono imbattuto nella disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e volevo chiedervi se le osservazioni che farò di seguito sono corrette per rendermi conto se l'ho appresa correttamente.
$AA x,y € K^n$ $|x*y| <= ||x|| ||y||$
Se entrambi i vettori o almeno uno dei due è il vettore nullo di $K^n$ allora le due quantità sono uguali (a zero).
Se i due vettori sono entrambi non nulli, allora possiamo considerare la seguente relazione:
$x*y = ||x|| ||y|| cos(\theta)$
E quindi la disuguaglianza diventa
$|||x|| ||y|| cos(\theta)| <= ||x|| ||y||$
La quantità a destra è sempre positiva.Occore concentrarsi sul coseno dell'angolo convesso formato tra i due vettori.Se quest'ultimo è uguale a 1 (è ovvio) o a -1 (considero il valore assoluto dello scalare che ottengo) le due quantità sono uguali. Altrimenti la quantità a sinistra è sempre minore di quella a destra.
Giusto? Grazie tante.
$AA x,y € K^n$ $|x*y| <= ||x|| ||y||$
Se entrambi i vettori o almeno uno dei due è il vettore nullo di $K^n$ allora le due quantità sono uguali (a zero).
Se i due vettori sono entrambi non nulli, allora possiamo considerare la seguente relazione:
$x*y = ||x|| ||y|| cos(\theta)$
E quindi la disuguaglianza diventa
$|||x|| ||y|| cos(\theta)| <= ||x|| ||y||$
La quantità a destra è sempre positiva.Occore concentrarsi sul coseno dell'angolo convesso formato tra i due vettori.Se quest'ultimo è uguale a 1 (è ovvio) o a -1 (considero il valore assoluto dello scalare che ottengo) le due quantità sono uguali. Altrimenti la quantità a sinistra è sempre minore di quella a destra.
Giusto? Grazie tante.
Risposte
Ciao jack
La disuguaglianza vale per ogni spazio vettoriale euclideo $V$(spazio vettoriale munito di prodotto scalare): almeno per quanto riguarda la dimensione finita, infinita ancora non saprei
una domanda: le conclusioni che stai cercando di estrapolare, le stai traendo ragionando solo sulla forma $|v*w|leq||v||*||w||$?
te lo chiedo perchè c'è una dimostrazione che mette in luce come la cosa cambi dipenda solo dalla lineare dipendenza.
sopratutto ricorda che l'angolo convesso è proprio definito come:
La disuguaglianza vale per ogni spazio vettoriale euclideo $V$(spazio vettoriale munito di prodotto scalare): almeno per quanto riguarda la dimensione finita, infinita ancora non saprei
una domanda: le conclusioni che stai cercando di estrapolare, le stai traendo ragionando solo sulla forma $|v*w|leq||v||*||w||$?
te lo chiedo perchè c'è una dimostrazione che mette in luce come la cosa cambi dipenda solo dalla lineare dipendenza.
sopratutto ricorda che l'angolo convesso è proprio definito come:
$cos(theta)=(v*w)/(||v||*||w||)$
Ciao, sì sto ragionando solo sula disuguaglianza in se, senza tener conto della dimostrazione.
Va bene allora continuo a seguire il tuo ragionamento.
giustamente dici che se essendo $cos(theta)leq1$ si deve avere $||v||*||w||*|cos(theta)|leq||v||*||w||$
è chiaro che questa è un'uguaglianza se e solo se $0=0,pi$ ovvero $cos(theta)=1,-1$ come da te affermato.
Ma se l'angolo formato dai vettori è $0,pi$ cosa puoi dire dei vettori?
giustamente dici che se essendo $cos(theta)leq1$ si deve avere $||v||*||w||*|cos(theta)|leq||v||*||w||$
è chiaro che questa è un'uguaglianza se e solo se $0=0,pi$ ovvero $cos(theta)=1,-1$ come da te affermato.
Ma se l'angolo formato dai vettori è $0,pi$ cosa puoi dire dei vettori?
[ot]No ragazzi è sbagliato dal punto di vista logico, e @anto: mi pare che ne avessimo già parlato.
Se definisci il prodotto scalare come \(x\cdot y = |x||y|\cos \theta\), allora ti serve una definizione di \(\theta\). Chi è \(\theta\)? (Domanda per anto_zoolander).
NON VALE rispondere \(\cos \theta = x\cdot y/(|x| |y|)\)! Perché così ci sarebbe una definizione circolare.[/ot]
Se definisci il prodotto scalare come \(x\cdot y = |x||y|\cos \theta\), allora ti serve una definizione di \(\theta\). Chi è \(\theta\)? (Domanda per anto_zoolander).
NON VALE rispondere \(\cos \theta = x\cdot y/(|x| |y|)\)! Perché così ci sarebbe una definizione circolare.[/ot]
[ot]si hai ragione, in effetti mi sarei dovuto stoppare quando si volevano legare le due cose[/ot]
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