Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao, qualcuno mi può dare un occhio a queste risposte?
\(\displaystyle \bullet \) \(\displaystyle \mathbb{C}^n \) non è compatto. Ho pensato di fare così: considero per ogni \(\displaystyle n\in\mathbb{N} \) la collezione numerabile \(\displaystyle M \) delle palle aperte centrate in \(\displaystyle x=0 \), \(\displaystyle B_n(0) \), rispetto alla metrica su \(\displaystyle \mathbb{C}^n \). \(\displaystyle M \) è una copertura di \(\displaystyle \mathbb{C}^n \), e se si potesse estrarre una ...
Buonasera, ho il seguente teorema da dover dimostrare:
"una curva regolare e' rettificabile e la sua lunghezza e' data da $\int_a^b ||x'(t)|| dt$"
Per quanto riguarda la parte "una curva regolare e' rettificabile" non ho problemi. Ora devo dimostrare la seconda parte.
Innanzitutto mi servo di un lemma che mi dice che, nelle ipotesi del teorema ho che per ogni $\epsilon$ e $\delta$ positivi esiste una suddivisione di ampiezza minore di $\delta$ tale che la corrispondente ...
Salve, chiedo scusa per la probabile banalità ma non riesco davvero a capire. Sapendo che:
Un omeomorfismo si definisce come una funzione f continua biettiva con inversa continua e biettiva.
Un isomorfismo si definisce come un omeomorfismo biettivo.
Non è quindi automatico (anche se ovviamente non lo può essere) che un omeomorfismo sia anche un isomorfismo?
Grazie
Ciao, mi viene data l’equazione generale di una conica in coordinate non omogenee (quindi lavoro nel piano cartesiano).La classifico come conica semplicemente degenere.Tuttavia mi viene detto che le due rette distinte con cui ho a che fare si intersecano sempre in punto detto punto doppio e fin qui nulla di strano perchè sono nel piano cartesiano e due rette distinte possono benissimo essere incidenti ed anche perchè le due rette sono,per definizione,incidenti e si incontrano nel vertice del ...
salve,
ho concluso il primo anno di studi della facoltà di ingegneria informatica, qualche mese fa ho sostenuto l'esame di algebra lineare (9 CFU).
il mio corso di studi non prevede oltre questa materia di approfondire l'argomento in quanto probabilmente quei 9 cfu sono abbastanza per una qualsiasi applicazione dell'algebra lineare il computer science.
nonostante cio' vorrei continuare ad approfondire la materia, in particolare mi piacerebbe studiare i tensori.
so che voglio addentrarmi in un ...
Salve. É il mio primo post e mi scuso per eventuali errori nella formulazione.
Sto facendo un esercizio di geometria protettiva (in particolare es. 1-f cap. 25, Sernesi, Geometria 1)
Mi viene chiesto di trovare un punto improprio rispetto a $x_0$ della retta $X-2*Y=0$
Ora, ho abbastanza chiaro come si dovrebbe svolgere ma, non essendoci un "termine noto", non trovo un punto, con $x_0= 0$ che NON appartenga alla retta in questione, e che quindi sia improprio.
Grazie.
Buongiorno. Oggi propongo un altro esercizio che più ci penso, più mi fa venire dei dubbi
Si consideri l'insieme $ NN $ dotato della topologia discreta e sia $ X= { x_n, x_2} uu NN $ dove $ x_n, x_2$ sono due punti aggiuntivi. Si dichiari che gli unici aperti che contengono $ x_i $ sono ${x_i} uu NN $ e $ X $ , e si dimostri che in tal modo si ottiene una topologia su $ X $ . Si dimostri infine che i due sottoinsiemi $ Y_i={x_i } uu NN $ sono ...
Ciao, ho questo esercizio
Sia $M$ lo spazio vettoriale delle matrici quadrate reali di ordine 2 e si consideri il sottospazio
$X_h$= ${((a,b), (c,d))}| h(a+d)=b, b=hc}$, con $h$ reale
a) al variare di $h$ determinare la dimensione e una base di $X_h$
b) nel caso $h=1$, determinare il sottospazio Y di M tale che $M$=$X_1$+$Y$ (somma diretta)
Il primo punto ho trovato come base ...
Buon pomeriggio. Propongo un esercizio che ho provato a svolgere:
Sia $ X $ uno spazio $ T_1 $ senza punti isolati. Dimostrare che ogni aperto non vuoto di $ X $ contiene infiniti punti
Se $ X $ è $ T_1 $ e non possiede punti isolati , allora ogni intorno $ U $ di $ x $ non possiede punti isolati. Ma quindi ogni punto $ x in U $ è di accumulazione $\rightarrow U $ possiede infiniti punti
Non so perché, ...
Ciao a tutti, vi scrivo per chiedervi come si prova che i gruppi SO(3, ℝ), SL(3, ℝ) e GL(3, ℝ), considerati come sottospazi topologici dello spazio delle matrici reali quadrate di ordine 3, sono varietà topologiche di dimensioni rispettivamente 3, 8 e 9.
Nel piano esiste la formula di Erone per calcolare l'area di un triangolo data la lunghezza dei lati.
Sulla sfera esiste qualcosa di analogo? (i triangoli sulla sfera hanno per lati archi di cerchi massimi).
E' facile sulla sfera calcolare l'area di un triangolo dati gli angoli $(alpha + beta + gamma - pi) * r^2$ (Se non ricordo male) ma se fossero note solo le lunghezze dei lati la formula per calcolare l'area sulla sfera che forma assumerebbe?
P. S. Per rendere sensato il problema bisognerebbe tirar fuori una ...
Buongiorno a tutti. Ho risolto un esercizio che mi chiede di verificare che gli spazi topologici siano due a due non omeomorfi e, per non avere dubbi, chiedo a voi se è svolto bene
gli spazi topologici sono $ II $ , $ [ 0 ,+oo) $ , $ RR $ ed $ S^1$
$ II $ è l'insieme dei numeri irrazionali, ed è totalmente sconnesso, infatti $ II=A uu B $ dove $ A={x in II |x> 2}$ e $ B={ x in II | x <2}$. $ II $ non è compatto perché non è limitato. ...
Buonasera, ho problemi con la definizione di curva fornita dal mio professore, non riesco a trovare da nessuna parte una simile a questa.
Innanzitutto e' stata presentata come una definizione piu' flessibile di curva il che mi porta a pensare che ce ne sia una piu' 'ufficiale', quale sarebbe?
Ora veniamo al dunque:
"Sia $C\in EE_n$ tale che esista un ricoprimento di aperti ${U_i}_(i\inI)$, chiamato atlante con la proprieta' che esistano delle funzioni, chiamate carte, $x_i: I_i -> U_i$. ...
Ciao ragazzi, sto trovando difficoltà nel capire lo svolgimento di un passaggio.
Ma prima una breve premessa.
Supponiamo di avere i tre autovettori $ bar(u)=l( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) $ , $ bar(v)=k( ( -1 ),( 0 ),( 1 ) ) $ e $ bar(w)=s( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $.
I vettori normalizzati risultano
$ bar(u_1)=l_1( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) $ con $ l_1=1/(sqrt(2) $,
$ bar(v_1)=k_1( ( -1 ),( 0 ),( 1 ) ) $ con $ k_1=1/(sqrt(2) $, e
$ bar(w_1)=s_1( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $ con $ s_1=1 $
per una matrice ortonormale $ [ bar(u) \ | \ bar(v) \ | \ bar(w) ] $.
Supponiamo invece di avere i seguenti due autovettori: $ bar(u)=l( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) $ e ...
Ho iniziato da pochissimo la lettura di un testo di algebra lineare e vorrei chiedere un chiarimento su una definizione.
In particolare ladefinizione di spazio vettoriale dice che l'insieme V, $(V,+,*)$ e uno s.v. se valgono le proprietà:
- (V,+) gruppo commutativo
- * sia una operazione binaria con varie proprietà
Il punto è che vedo non richiedere che ad esempio per l'associatività $a(b*v)=(ab)*v$ o qualunque altra proprietà (altro esempio): $(a+b)*v$=$a*v+b*v$ i ...
Buongiorno a tutti. Come sempre ho dei dubbi sullo svolgimento di un esercizio. La traccia è la seguente:
1) Sia $ X $ uno spazio topologico dotato di topologia discreta. Dimostrare che ogni successione ${x_n} $ in $ X $ è convergente se e solo se è definitivamente costante
2) Sia $ X $ uno spazio topologico dotato di topologia banale. Dimostrare che qualsiasi successione ${ x_n} $ di $ X $ converge ad ogni punto di ...
Buon giorno, mi sono bloccato con questo esercizio e chiedo aiuto.
Nel piano euclideo $E^2$ si consideri la circonferenza $C$ di eq: $(x-2)^2+(y-2)^2=1$ e la retta r di eq: $x+y=1$.
Determinare la distanza $d(C,r)$ dimostrando che $d(C,r)$=inf${|p-q|: p\inC,q\inr}$.
Quindi l'idea sarebbe di fissare un punto $p\inC$ quindi il punto $q\inr$ deve avere minima distanza da $p$ quindi il vettore $q-p$ è ...
Come dimostro che due matrici simili hanno lo stesso rango?
Anche dimostrando che hanno lo stesso determinante, mi ritrovo che se il determinante fosse 0, non saprei come fare >.< help!
P.S. ho già cercato ma non ho trovato nulla..
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