Esercizio endomorfismo
Ciao a tutti
oggi vi propongo questo esercizio, dove mi sono cimentato più volte e non riesco a risolverlo
Sia dato l'endomorfismo f:R ²² tale che f (X)=X+2Xᵗ
Scrivere in maniera esplicita l' espressione della f (e questo lo so fare perchè X= $| (a,b),(c,d)|$ quindi lo sostituisco in X+2Xᵗ)
a) determinare la matrice associata rispetto alla basi canoniche
( essendo in R ²² le basi canoniche sono T(e1)= (10) e T(e2)=(01) Giusto?)
b)determinare la matrice associata rispetto alla basi canonica e alla base
$|((1,0),(0,0))|$ , $|((1,0),(1,0))|$ , $|((0,0)(0,1))|$ , $|((0,6),(0,0))|$
c) $|((1,0),(0,0))|$ , $|((1,0),(1,0))|$ , $|((0,0)(0,1))|$ , $|((0,6),(0,0))|$la matrice associata rispetto alla base
$|((1,0),(0,0))|$ , $|((1,0),(1,0))|$ , $|((0,0)(0,1))|$ , $|((0,6),(0,0))|$
e alla base
$|((1,0),(0,0))|$ , $|((1,0),(1,0))|$ , $|((0,0)(0,1))|$ , $|((0,6),(0,0))|$
d)determinare la dimensione e base dell'immagine e del nucleo di f ,
e)dire se l'applicazione lineare rappresenta un isomorfismo,
Il mio più grosso problema sono i punti b), c) , premetto che ho letto e riletto la spiegazione del mio prof.ssore e il libro di testo, ma il guaio è che la teoria (forse lo capita) e la pratica che proprio non riesco....mi confondo
Mi potreste aiutare per favore...
Grazie in anticipo a chi mi aiuterà ....
oggi vi propongo questo esercizio, dove mi sono cimentato più volte e non riesco a risolverlo
Sia dato l'endomorfismo f:R ²² tale che f (X)=X+2Xᵗ
Scrivere in maniera esplicita l' espressione della f (e questo lo so fare perchè X= $| (a,b),(c,d)|$ quindi lo sostituisco in X+2Xᵗ)
a) determinare la matrice associata rispetto alla basi canoniche
( essendo in R ²² le basi canoniche sono T(e1)= (10) e T(e2)=(01) Giusto?)
b)determinare la matrice associata rispetto alla basi canonica e alla base
$|((1,0),(0,0))|$ , $|((1,0),(1,0))|$ , $|((0,0)(0,1))|$ , $|((0,6),(0,0))|$
c) $|((1,0),(0,0))|$ , $|((1,0),(1,0))|$ , $|((0,0)(0,1))|$ , $|((0,6),(0,0))|$la matrice associata rispetto alla base
$|((1,0),(0,0))|$ , $|((1,0),(1,0))|$ , $|((0,0)(0,1))|$ , $|((0,6),(0,0))|$
e alla base
$|((1,0),(0,0))|$ , $|((1,0),(1,0))|$ , $|((0,0)(0,1))|$ , $|((0,6),(0,0))|$
d)determinare la dimensione e base dell'immagine e del nucleo di f ,
e)dire se l'applicazione lineare rappresenta un isomorfismo,
Il mio più grosso problema sono i punti b), c) , premetto che ho letto e riletto la spiegazione del mio prof.ssore e il libro di testo, ma il guaio è che la teoria (forse lo capita) e la pratica che proprio non riesco....mi confondo
Mi potreste aiutare per favore...
Grazie in anticipo a chi mi aiuterà ....
Risposte
"Oscar19":
essendo in R ²² le basi canoniche sono T(e1)= (10) e T(e2)=(01)
se stai lavorando con le matrici quelle che hai scritto non lo sono, e quindi non possono essere le basi canoniche di $RR^(2 xx 2)$
per gli altri due punti, io userei l'isomorfismo tra lo spazio delle matrici $n xx n$ e lo spazio $RR^(n^2)$ e poi la matrice di cambio di base
Ciao Cooper
Grazie per la tua risposta...
Scusami ma non ho capito quello che mi vuoi dire....
Mi faresti qualche esempio??!!.. L'unica cosa che ho capito è che ho sbagliato le basi canoniche... il che non ci vuole tanto...](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Quali sono le basi canoniche allora in questo caso? Di solito svolgo altri tipi di esercizi sulle applicazioni lineari è la prima volta che mi imbatto in questa tipologia e sono nella più totale confusione 
Ti ringrazio in anticipo per il tuo preziosissimo aiuto
Grazie per la tua risposta...
Scusami ma non ho capito quello che mi vuoi dire....
Mi faresti qualche esempio??!!.. L'unica cosa che ho capito è che ho sbagliato le basi canoniche... il che non ci vuole tanto...
Quali sono le basi canoniche allora in questo caso? Di solito svolgo altri tipi di esercizi sulle applicazioni lineari è la prima volta che mi imbatto in questa tipologia e sono nella più totale confusione
Ti ringrazio in anticipo per il tuo preziosissimo aiuto
"Oscar19":
Mi faresti qualche esempio??!!..
dato che probabilmente sei più abituato a lavorare con i vettori anzichè le matrici può essere comodo "trasformare" le matrici in vettori. possiamo quindi usare l'isomorfismo che ti ho suggerito prima e confondere tra loro $M_n(RR)$ e $RR^(n*n)$. quindi presa una matrice (nel tuo caso $2 xx 2$), $( ( a , b ),( c , d ) ) $ questa puoi vederla come un vettore di $RR^4$ $((a),(b),(c),(d))$. in questo modo lavori con i vettori e non con le matrici.
"Oscar19":
Quali sono le basi canoniche allora in questo caso?
la base canonica di $M_2(RR)$ è $B={( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ), ( ( 0 , 1 ),( 0 , 0 ) ), ( ( 0 , 0 ),( 1 , 0 ) ), ( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) )}$
Ciao Cooper
Scusa il ritardo
Ti ringrazio per il tuo preziosissimo aiuto...
Quando tu dici di utilizzare isoformismo intendi una proprietà giusto?
Il professore c'ha solo spiegato la definizione ovvero quando un'applicazione è biettiva (cioè suriettiva e iniettiva....)
Ho cercato sul libro di testo ma l'unica cosa che ho trovato è stato un teorema che dice "due spazi vettoriali V e W sono isoformi se e solo se hanno la stessa dimensione"
Per favore mi faresti capire cosa devo fare? Sono in difficoltà non riesco proprio a svolgere questo esercizio!!
C'è un altro metodo più "semplice"(fatemi passare questa parole) o meglio che io possa svolgere senza andare in tilt.
Grazie sempre per la tua risposta
Scusa il ritardo
Ti ringrazio per il tuo preziosissimo aiuto...
Quando tu dici di utilizzare isoformismo intendi una proprietà giusto?
Il professore c'ha solo spiegato la definizione ovvero quando un'applicazione è biettiva (cioè suriettiva e iniettiva....)
Ho cercato sul libro di testo ma l'unica cosa che ho trovato è stato un teorema che dice "due spazi vettoriali V e W sono isoformi se e solo se hanno la stessa dimensione"
Per favore mi faresti capire cosa devo fare? Sono in difficoltà non riesco proprio a svolgere questo esercizio!!
C'è un altro metodo più "semplice"(fatemi passare questa parole) o meglio che io possa svolgere senza andare in tilt.
Grazie sempre per la tua risposta
"Oscar19":
Ho cercato sul libro di testo ma l'unica cosa che ho trovato è stato un teorema che dice "due spazi vettoriali V e W sono isoformi se e solo se hanno la stessa dimensione"
è proprio qui il punto. lo spazio delle matrici $2 xx 2$, che è quello su cui è definita la funzione della traccia, ha la stessa dimensione di $RR^4$. puoi in un qualche senso vedere le matrici come dei vettori e risolvere tutto il problema come se avessi vettori e non matrici. per farlo devi trasformare tutte le matrici in vettori secondo, per esempio, la regola $((a, b),(c, d)) -> ((a),(b),(c),(d))$. quindi l'elemento 11 della matrice diventa il primo elemento del vettore, l'elemento 12 diventa la seconda entrata del vettore e così via.
per esempio se hai la matrice $((5, e^3),(3, sqrt2))$ questa diventa il vettore $((5),(e^3),(3),(sqrt2))$
se trasformi tutte le matrici in questo modo otterrai anzichè basi di $RR^(2 xx 2)$, otterrai basi di $RR^(4)$.
prova a cercare che ci sono diversi esercizi con l'isomorfismo. per esempio questo.
se dovessi avere dubbi, chiedi pure.
Ok Cooper ci proverò
Grazie per il tuo contributo , non vorrei essere ripetitivo ma sei di grande aiuto
Ti farò sapere....
Grazie per il tuo contributo , non vorrei essere ripetitivo ma sei di grande aiuto
Ti farò sapere....
"Oscar19":
Grazie per il tuo contributo , non vorrei essere ripetitivo ma sei di grande aiuto
sono contento ti sia servito
Ciao Cooper
Rieccomi qui....
ho provato ha risolvere questo benedetto esercizio 
Spero che sia giusto....te lo scrivo passo passo per vedere che stupidaggini ho scritto....Preparati
Essendo f (X)=X+2Xᵗ ho trovato la matrice che è...(Ah! premetto ho voluto provare con le matrici e non con i vettori , credo che al prof. piacciono così o per meglio dire è più corretto!!)
$((a,b),(c,d))$ + 2* $((a,c),(b,d))$ = $((3a,b+2c),(c+2b,3d))$
a) Ora trovo la matrice associata alle basi canoniche f(e11), f(e12), f(e21), f(e22),
trovo l'immagine dei rispettivi vettori f
f(e11)=$ |((1,0),(0,0))| $=$ |((3,0),(0,0))| $
f(e12)=$ |((0,1),(0,0))| $=$ |((0,1),(2,0))| $
f(e21)=$ |((0,0),(1,0))| $=$ |((0,2),(1,0))| $
f(e22)=$ |((0,0),(0,1))| $=$ |((0,0),(0,3))| $
Fino qui è giusto???????
La matrice associata A rispetto alle basi canoniche è
A=$((3,0,0,0),(0,1,2,0),(0,2,1,0),(0,0,0,3))$
Nell'esercizio è richiesto l'Im(f) , applico Gauss per ridurre la matrice associata
A=$((3,0,0,0),(0,1,2,0),(0,2,1,0),(0,0,0,3))$ $->$ $((3,0,0,0),(0,1,2,0),(0,0,-3,0),(0,0,0,3))$ mi fermo qui con la riduzione di Gauss
Non vorrei scrivere sbagliato ma ottengo Im(f)={(3,0,0,0),(0,1,2,0),(0,2,1,0),(0,0,0,3)} che è la base di Im(f) quindi
dim Im(f)=4
applico il th nullità del rango è ho per il nucleo
dim Ker(f)= n-dim Im(f)= 4-4=0
Giusto fin qui ?????
Per determinare Ker(f) uso le soluzioni del sistema omogeneo a cui è associata la matrice A, considero però quella ridotta già a gradini (per facilitare i conti)
$\{(3x=0),(y+2z=0),(2y+z=0),(3t=0):}$
le soluzioni sono (0,0,0,0)
quindi la Base( Ker(f))=(0,0,0,0)
L'esercizio mi richiedeva se era un'isomorfismo.....per me lo è essendo iniettiva e suriettiva
Spero Cooper di non aver scritto tante cretinate e chiedo venia per questo....
Ma per svolgere questi due punti come devo fare? Devo fare come prima nel punto a)
b)determinare la matrice associata rispetto alla basi canonica e alla base
$((1,0),(0,0))$ , $((1,0),(1,0))$ , $((0,0),(0,1))$, $((0,6),(0,0))$
c)determinare la matrice associata rispetto alla base
$((1,0),(0,0))$ , $((1,0),(1,0))$ , $((0,0),(0,1))$, $((0,6),(0,0))$
e alla base
$((1,0),(0,0))$ , $((1,0),(1,0))$ , $((0,0),(0,1))$, $((0,6),(0,0))$
Inoltre il punto C) e giusto come l'ha scritto il prof..?!
P.S. Volevo chiederti una cosa...
se vorrei farti vedere un'altro esercizio molto simile devo aprire un nuovo argomento o lo posso scrivere qui ?
Grazie infinite
....sempre grato 
Rieccomi qui....
ho provato ha risolvere questo benedetto esercizio
Spero che sia giusto....te lo scrivo passo passo per vedere che stupidaggini ho scritto....Preparati
Essendo f (X)=X+2Xᵗ ho trovato la matrice che è...(Ah! premetto ho voluto provare con le matrici e non con i vettori , credo che al prof. piacciono così o per meglio dire è più corretto!!)
$((a,b),(c,d))$ + 2* $((a,c),(b,d))$ = $((3a,b+2c),(c+2b,3d))$
a) Ora trovo la matrice associata alle basi canoniche f(e11), f(e12), f(e21), f(e22),
trovo l'immagine dei rispettivi vettori f
f(e11)=$ |((1,0),(0,0))| $=$ |((3,0),(0,0))| $
f(e12)=$ |((0,1),(0,0))| $=$ |((0,1),(2,0))| $
f(e21)=$ |((0,0),(1,0))| $=$ |((0,2),(1,0))| $
f(e22)=$ |((0,0),(0,1))| $=$ |((0,0),(0,3))| $
Fino qui è giusto???????
La matrice associata A rispetto alle basi canoniche è
A=$((3,0,0,0),(0,1,2,0),(0,2,1,0),(0,0,0,3))$
Nell'esercizio è richiesto l'Im(f) , applico Gauss per ridurre la matrice associata
A=$((3,0,0,0),(0,1,2,0),(0,2,1,0),(0,0,0,3))$ $->$ $((3,0,0,0),(0,1,2,0),(0,0,-3,0),(0,0,0,3))$ mi fermo qui con la riduzione di Gauss
Non vorrei scrivere sbagliato ma ottengo Im(f)={(3,0,0,0),(0,1,2,0),(0,2,1,0),(0,0,0,3)} che è la base di Im(f) quindi
dim Im(f)=4
applico il th nullità del rango è ho per il nucleo
dim Ker(f)= n-dim Im(f)= 4-4=0
Giusto fin qui ?????
Per determinare Ker(f) uso le soluzioni del sistema omogeneo a cui è associata la matrice A, considero però quella ridotta già a gradini (per facilitare i conti)
$\{(3x=0),(y+2z=0),(2y+z=0),(3t=0):}$
le soluzioni sono (0,0,0,0)
quindi la Base( Ker(f))=(0,0,0,0)
L'esercizio mi richiedeva se era un'isomorfismo.....per me lo è essendo iniettiva e suriettiva
Spero Cooper di non aver scritto tante cretinate e chiedo venia per questo....
Ma per svolgere questi due punti come devo fare? Devo fare come prima nel punto a)
b)determinare la matrice associata rispetto alla basi canonica e alla base
$((1,0),(0,0))$ , $((1,0),(1,0))$ , $((0,0),(0,1))$, $((0,6),(0,0))$
c)determinare la matrice associata rispetto alla base
$((1,0),(0,0))$ , $((1,0),(1,0))$ , $((0,0),(0,1))$, $((0,6),(0,0))$
e alla base
$((1,0),(0,0))$ , $((1,0),(1,0))$ , $((0,0),(0,1))$, $((0,6),(0,0))$
Inoltre il punto C) e giusto come l'ha scritto il prof..?!
P.S. Volevo chiederti una cosa...
se vorrei farti vedere un'altro esercizio molto simile devo aprire un nuovo argomento o lo posso scrivere qui ?Grazie infinite
....sempre grato
"Oscar19":
credo che al prof. piacciono così o per meglio dire è più corretto!!)
non c'è un più corretto o meno corretto se entrambi i metodi sono corretti e validi. ma procediamo pure come sei più comodo
"Oscar19":
Giusto fin qui ?????
tutto benissimo se i vettori della base dell'immagine sono le quattro matrici che hai calcolato prima.
"Oscar19":
le soluzioni sono (0,0,0,0)
quindi la Base( Ker(f))=(0,0,0,0)
il ragionamento è corretto ed hai fatto correttamente ma hai fatto lavoro inutile: se ha dimensione zero naturalmente deve venire la unica matrice nulla. inoltre io non direi che quella sia la base del nucleo: la matrice (come per l'immagine: stiamo lavorando con matrici quindi le basi devono essere costituite da matrici) nulla è linearmente dipendente e dunque non può essere una base. direi piuttosto che il nucleo sia generato dalla sola matrice nulla (e la cosa ha senso perchè l'applicazione è iniettiva)
"Oscar19":
L'esercizio mi richiedeva se era un'isomorfismo.....per me lo è essendo iniettiva e suriettiva
"Oscar19":
Ma per svolgere questi due punti come devo fare? Devo fare come prima nel punto a)
fai come prima. trovi l'immagine dei vettori della prima base e poi esprimi questi ultimi in termini della seconda base
"Oscar19":
Inoltre il punto C) e giusto come l'ha scritto il prof..?!
in che senso? come l'hai scritto nel primo messaggio era confusionario come l'hai scritto qui mi sembra apposto. cosa ti crea problemi?
"Oscar19":
P.S. Volevo chiederti una cosa... se vorrei farti vedere un'altro esercizio molto simile devo aprire un nuovo argomento o lo posso scrivere qui ?
apri un altro post
Ok Cooper...
Mi rincuora aver scritto cose giuste..
Quindi per i due punti b) e c) li devo trovare come ho fatto prima , cioè trovo la matrice A associata alle due basi, giusto fin qui ?!.... come soluzione allora avrei due matrici associate per b) e due per c) (in totale 4)
La mia domanda sul punto c) forse è meglio che te la rifaccio,... il mio dubbio riguarda il fatto che le due basi siano uguali.... che cosa ottengo in questo modo?sempre due matrici associate??!
Grazie sempre mi hai chiarito molti dubbi e spero di togliermi quest'altro sassolino dalla scarpa
P.S.Lo so che la soluzione della base potevo evitarla di scriverla....ma il prof.vuole che glielo dimostriamo
Mi rincuora aver scritto cose giuste..
Quindi per i due punti b) e c) li devo trovare come ho fatto prima , cioè trovo la matrice A associata alle due basi, giusto fin qui ?!.... come soluzione allora avrei due matrici associate per b) e due per c) (in totale 4)
La mia domanda sul punto c) forse è meglio che te la rifaccio,... il mio dubbio riguarda il fatto che le due basi siano uguali.... che cosa ottengo in questo modo?sempre due matrici associate??!
Grazie sempre mi hai chiarito molti dubbi e spero di togliermi quest'altro sassolino dalla scarpa
P.S.Lo so che la soluzione della base potevo evitarla di scriverla....ma il prof.vuole che glielo dimostriamo
"Oscar19":
Quindi per i due punti b) e c) li devo trovare come ho fatto prima , cioè trovo la matrice A associata alle due basi, giusto fin qui ?!.... come soluzione allora avrei due matrici associate per b) e due per c) (in totale 4)
e perchè? assolutamente no. anche nel punto a) non hai trovato due matrici associate ma una sola. hai una matrice associata considerando una base per lo spazio di partenza ed una base per lo spazio di arrivo (e queste due basi possono anche coincidere, e questo risponde al dubbio sul punto c)).il punto b) per esempio ha come base dello spazio di partenza quella canonica e come base dello spazio di arrivo quella data dal testo. quindi per scrivere la matrice associata ad f rispetto a queste due basi devi:
1. scrivere le immagini della base di partenza (qui quella canonica) tramite f
2. esprimere le immagini trovate al punto 1. rispetto alla base dello spazio di arrivo.
per esempio:
1. l'immagine di $e_2$ è $ f(e_2)=((0,1),(2,0)) $
2. esprimo questa matrice come combinazione lineare degli elementi della base dello spazio di arrivo
$ ((0,1),(2,0))=-2((1,0),(0,0))+2((1,0),(1,0))+0((0,0),(0,1))+1/6((0,6),(0,0)) $ quei quattro coefficienti sono la seconda colonna della matrice associata.
basta ripetere il procedimento con gli altri tre vettori della base canonica ed il gioco è fatto.
analogamente il punto c)
"Oscar19":
P.S.Lo so che la soluzione della base potevo evitarla di scriverla....ma il prof.vuole che glielo dimostriamo
apposto allora!
Ciao Cooper...
Sono felice di aver finalmente (a piccoli passi) capito questo esercizio....Grazie infinite..
ne sono grato per il tuo aiuto... è stato prezioso!!
Spero di postare altri esercizi al più presto....
GRAZIE
Sono felice di aver finalmente (a piccoli passi) capito questo esercizio....Grazie infinite..
ne sono grato per il tuo aiuto... è stato prezioso!!
Spero di postare altri esercizi al più presto....
GRAZIE
di niente
Ciao Cooper
non ho resistito ....
ti posto le soluzioni dei punti b) e c)...Pronto 
Ho ottenuto come risultato......
B= $((3,-2,-1,0),(0,2,1,0),(0,0,0,0),(0,1/6,1/3,3))$
C=$((1,0,0,0),(0,1,0,0,),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$
penso che si giusto anche per gli altri utenti (amici ) di vedere quale altra cretinata abbia scritto....!!!!
Scherzo.... credo che sia utile per me e per gli altri
P.S. spero di postare entro sta sera gli altri esercizi .... alla prossima
P.S non capisco perchè la seconda matrice sia scritta cosi......
non ho resistito ....
ti posto le soluzioni dei punti b) e c)...Pronto Ho ottenuto come risultato......
B= $((3,-2,-1,0),(0,2,1,0),(0,0,0,0),(0,1/6,1/3,3))$
C=$((1,0,0,0),(0,1,0,0,),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$
penso che si giusto anche per gli altri utenti (amici ) di vedere quale altra cretinata abbia scritto....!!!!
Scherzo.... credo che sia utile per me e per gli altri
P.S. spero di postare entro sta sera gli altri esercizi .... alla prossima
P.S non capisco perchè la seconda matrice sia scritta cosi......
"Oscar19":
Ho ottenuto come risultato......
purtroppo mi sembrano sbagliate. la b) probabilmente ti sei solo confuso: la quarta colonna ha la terza entrata pari a 3 e non la quarta.
il c) invece mi sembra proprio sbagliato: già la prima colonna dovrebbe essere uguale all'altra matrice.
"Oscar19":
P.S non capisco perchè la seconda matrice sia scritta cosi......
c'è una virgola di troppo della seconda parentesi
Ciao Cooper
e lo sapevo mi sembra bello aver capito subito!!!!
ho seguito il tuo consiglio
Punto b)
1. l'immagine di $e_2$ è $ f(e_2)=((0,1),(2,0)) $
2. esprimo questa matrice come combinazione lineare degli elementi della base dello spazio di arrivo
$ ((0,1),(2,0))=-2((1,0),(0,0))+2((1,0),(1,0))+0((0,0),(0,1))+1/6((0,6),(0,0)) $ quei quattro coefficienti sono la seconda colonna della matrice associata.
basta ripetere il procedimento con gli altri tre vettori della base canonica ed il gioco è fatto.
Ora ti scrivo quello che ho fatto passo passo
1. l'immagine di $e_1$ è $ f(e_1)=((3,0),(0,0)) $
2. esprimo questa matrice come combinazione lineare
$ ((3,0),(0,0))=3((1,0),(0,0))+0((1,0),(1,0))+0((0,0),(0,1))+0((0,6),(0,0)) $ i quattro coefficienti li scrivo come prima colonna della matrice associata.
la seconda l'hai trovata tu.....
1. l'immagine di $e_3$ è $ f(e_3)=((0,2),(1,0)) $
2. esprimo questa matrice come combinazione lineare
$ (0,2),(1,0))=-1((1,0),(0,0))+1((1,0),(1,0))+0((0,0),(0,1))+1/3((0,6),(0,0)) $ i quattro coefficienti li scrivo come terza colonna della matrice associata.
1. l'immagine di $e_4$ è $ f(e_4)=((0,0),(0,3)) $
2. esprimo questa matrice come combinazione lineare
$ ((0,0),(0,3))=0((1,0),(0,0))+0((1,0),(1,0))+3((0,0),(0,1))+0((0,6),(0,0)) $ i quattro coefficienti li scrivo come quarta colonna della matrice associata.
Punto C)
1. l'immagine di $e_1$ è $ f(e_1)=((1,0),(0,0)) $
2. esprimo questa matrice come combinazione lineare
$ ((1,0),(0,0))=1((1,0),(0,0))+2((1,0),(1,0))+0((0,0),(0,1))+0((0,6),(0,0)) $ quei quattro coefficienti sono prima colonna della matrice associata.
1. l'immagine di $e_2$ è $ f(e_2)=((1,0),(1,0)) $
2. esprimo questa matrice come combinazione lineare
$ ((1,0),(1,0))=0((1,0),(0,0))+1((1,0),(1,0))+0((0,0),(0,1))+0((0,6),(0,0)) $ quei quattro coefficienti sono la seconda colonna della matrice associata.
1. l'immagine di $e_3$ è $ f(e_3)=((0,0),(0,1)) $
2. esprimo questa matrice come combinazione lineare
$ ((0,0),(0,1))=0((1,0),(0,0))+0((1,0),(1,0))+1((0,0),(0,1))+0((0,6),(0,0)) $ quei quattro coefficienti sono la terza colonna della matrice associata.
1. l'immagine di $e_4$ è $ f(e_4)=((0,6),(0,0)) $
2. esprimo questa matrice come combinazione lineare
$ ((0,6),(0,0))=0((1,0),(0,0))+0((1,0),(1,0))+0((0,0),(0,1))+1((0,6),(0,0)) $ quei quattro coefficienti sono la quarta colonna della matrice associata.
Cosa ho sbagliato....?
b=$((3,-2,-1,0),(0,2,1,0),(0,0,0,0),(0,1/6,1/3,3))$
C=$((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$
Non si prendono i coefficienti della combinazione lineare e si mettono non in colonna.....?????
e lo sapevo mi sembra bello aver capito subito!!!!
ho seguito il tuo consiglio
Punto b)
1. l'immagine di $e_2$ è $ f(e_2)=((0,1),(2,0)) $
2. esprimo questa matrice come combinazione lineare degli elementi della base dello spazio di arrivo
$ ((0,1),(2,0))=-2((1,0),(0,0))+2((1,0),(1,0))+0((0,0),(0,1))+1/6((0,6),(0,0)) $ quei quattro coefficienti sono la seconda colonna della matrice associata.
basta ripetere il procedimento con gli altri tre vettori della base canonica ed il gioco è fatto.
Ora ti scrivo quello che ho fatto passo passo
1. l'immagine di $e_1$ è $ f(e_1)=((3,0),(0,0)) $
2. esprimo questa matrice come combinazione lineare
$ ((3,0),(0,0))=3((1,0),(0,0))+0((1,0),(1,0))+0((0,0),(0,1))+0((0,6),(0,0)) $ i quattro coefficienti li scrivo come prima colonna della matrice associata.
la seconda l'hai trovata tu.....
1. l'immagine di $e_3$ è $ f(e_3)=((0,2),(1,0)) $
2. esprimo questa matrice come combinazione lineare
$ (0,2),(1,0))=-1((1,0),(0,0))+1((1,0),(1,0))+0((0,0),(0,1))+1/3((0,6),(0,0)) $ i quattro coefficienti li scrivo come terza colonna della matrice associata.
1. l'immagine di $e_4$ è $ f(e_4)=((0,0),(0,3)) $
2. esprimo questa matrice come combinazione lineare
$ ((0,0),(0,3))=0((1,0),(0,0))+0((1,0),(1,0))+3((0,0),(0,1))+0((0,6),(0,0)) $ i quattro coefficienti li scrivo come quarta colonna della matrice associata.
Punto C)
1. l'immagine di $e_1$ è $ f(e_1)=((1,0),(0,0)) $
2. esprimo questa matrice come combinazione lineare
$ ((1,0),(0,0))=1((1,0),(0,0))+2((1,0),(1,0))+0((0,0),(0,1))+0((0,6),(0,0)) $ quei quattro coefficienti sono prima colonna della matrice associata.
1. l'immagine di $e_2$ è $ f(e_2)=((1,0),(1,0)) $
2. esprimo questa matrice come combinazione lineare
$ ((1,0),(1,0))=0((1,0),(0,0))+1((1,0),(1,0))+0((0,0),(0,1))+0((0,6),(0,0)) $ quei quattro coefficienti sono la seconda colonna della matrice associata.
1. l'immagine di $e_3$ è $ f(e_3)=((0,0),(0,1)) $
2. esprimo questa matrice come combinazione lineare
$ ((0,0),(0,1))=0((1,0),(0,0))+0((1,0),(1,0))+1((0,0),(0,1))+0((0,6),(0,0)) $ quei quattro coefficienti sono la terza colonna della matrice associata.
1. l'immagine di $e_4$ è $ f(e_4)=((0,6),(0,0)) $
2. esprimo questa matrice come combinazione lineare
$ ((0,6),(0,0))=0((1,0),(0,0))+0((1,0),(1,0))+0((0,0),(0,1))+1((0,6),(0,0)) $ quei quattro coefficienti sono la quarta colonna della matrice associata.
Cosa ho sbagliato....?
b=$((3,-2,-1,0),(0,2,1,0),(0,0,0,0),(0,1/6,1/3,3))$
C=$((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$
Non si prendono i coefficienti della combinazione lineare e si mettono non in colonna.....?????
"Oscar19":
quattro coefficienti li scrivo come quarta colonna della matrice associata
e come avevo immaginato i conti sono giusti ma se guardi la matrice che hai scritto prima ed anche quella che hai scritto adesso, hai messo il 3 come ultimo elemento della matrice mentre dovrebbe essere l'elemento $b_(34)$.
"Oscar19":
Punto C)
al riguardo ho due commenti da fare, il primo è di carattere generale e ti vuole spiegare qualcosa anche se come hai risolto l'esercizio hai proprio sbagliato qualcosa di concettuale:
1. devi stare più attento quando scrivi la matrice associata perchè anche ammettendo che come hai risolto sia corretto, ancora una volta hai sbagliato a trascrivere le colonne: dove è sparito il 2 della combinazione lineare? se il problema fosse solo questo è un peccato buttare via punti facendo i conti correttamente ma sbagliando a "copiare" la matrice
2. purtroppo hai sbagliato proprio ad impostare il problema.
"Oscar19":
1. l'immagine di $e_1$ è $f(e_1)=((1,0),(0,0))$
purtroppo questa non è l'immagine di $e_1$, È proprio $e_1$ ed in questo caso non coincidono. d'altro canto l'immagine di $e_1$ l'hai calcolata (correttamente) nel punto b). lo stesso per gli altri vettori della base: non consideri le loro immagini tramite f ma consideri proprio i vettori e scrivi la combinazione di questi. correggi questo e sei apposto.
Ciao Cooper
Per il primo punto hai proprio ragione... è stato una distrazione come al solito sbaglio per queste cose....
Per il secondo punto scusa la mia cocciutagine
ma non riesco a capirti...come dice Verdone "in che senso!!??" Il pt b) è giusto come l'ho calcolato mentre nel pt c) cos'ho sbagliato???
Grazie sempre....
Per il primo punto hai proprio ragione... è stato una distrazione
come al solito sbaglio per queste cose....Per il secondo punto scusa la mia cocciutagine
ma non riesco a capirti...come dice Verdone "in che senso!!??" Il pt b) è giusto come l'ho calcolato mentre nel pt c) cos'ho sbagliato???Grazie sempre....
tu hai la base $B={((1,0),(0,0)),((1,0),(1,0)),((0,0),(0,1)),((0,6),(0,0))}={v_1,v_2,v_3,v_4}$
nel punto b) la base di partenza era quella canonica e cosa hai fatto? hai preso i suoi vettori (ovvero $e_1,e_2,e_3,e_4$), li hai "messi nella funzione" ed hai trovato le loro immagini. per esempio con il vettore $e_1$ l'immagine era $((3,0),(0,0))$. bene: perchè qui non fai la stessa cosa? il primo vettore della base B coincide con $e_1$ e quindi l'immagine deve essere $((3,0),(0,0))$ mentre tu hai preso come immagine proprio il vettore, senza darlo in pasto alla funzione.
nel punto b) la base di partenza era quella canonica e cosa hai fatto? hai preso i suoi vettori (ovvero $e_1,e_2,e_3,e_4$), li hai "messi nella funzione" ed hai trovato le loro immagini. per esempio con il vettore $e_1$ l'immagine era $((3,0),(0,0))$. bene: perchè qui non fai la stessa cosa? il primo vettore della base B coincide con $e_1$ e quindi l'immagine deve essere $((3,0),(0,0))$ mentre tu hai preso come immagine proprio il vettore, senza darlo in pasto alla funzione.
Ciao Cooper
Come hai ben capito io mi confondo tra le immagini e i vettori....quindi ricapitolando...io nel pt b)come immagine sono giuste e i conti anche,avevo sbagliato solo il 3....?????mentre nel pt c) ho sbagliato tutto.....?? dovevo scrivere anche lì le immagini della matrice associata di partenza(cioè la prima)....?? Ho non capito nulla.....???forse questa è la risposta più adatta...
Ti chiedo scusa se ancora non mi vuole entrare in testa.....ma sono autodidatta.....(non vuole essere una giustificazione, studio con i libri di testo e avvolte si spiegano come un libro chiuso)studio e lavoro quindi ha lezione non ci vado spesso...(come avrai capito dalle richieste)
Ti ringrazio sempre
Come hai ben capito io mi confondo tra le immagini e i vettori....quindi ricapitolando...io nel pt b)come immagine sono giuste e i conti anche,avevo sbagliato solo il 3....?????mentre nel pt c) ho sbagliato tutto.....?? dovevo scrivere anche lì le immagini della matrice associata di partenza(cioè la prima)....?? Ho non capito nulla.....???forse questa è la risposta più adatta...
Ti chiedo scusa se ancora non mi vuole entrare in testa.....ma sono autodidatta.....(non vuole essere una giustificazione, studio con i libri di testo e avvolte si spiegano come un libro chiuso)studio e lavoro quindi ha lezione non ci vado spesso...(come avrai capito dalle richieste)
Ti ringrazio sempre
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