Dubbio somma diretta e non diretta

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Dato il sottospazio X di $ R^3 $ , di cui a questo punto dell'esercizio conosco la base, determinare due sottospazi A e B tali che:
1) $ A + X = R^4 $ , somma diretta
2) $ B + X = R^4 $ , somma non diretta

La base del sottospazio X è $ B_x = {(0,0,1,2),(1,0,0,1),(1,2,0,6)} $

Per trovare la base di un sottospazio A che soddisfi la 1) mi basta prendere un vettore indipendente rispetto alla base $ B_x$ , ad esempio $(0,0,0,1)$ e verificare che tale vettore non appartenga ad X.

Ma per trovare un vettore che soddisfi la 2) come devo procedere ? Mi hanno suggerito di prendere un vettore del sottospazio ortogonale ad X, ma non ne capisco il motivo.

[vict85]

\(X\) è un sottospazio di \(\mathbb{R}^3\) o di \(\mathbb{R}^4\)? E non avrebbe più senso fornire la base di \(X\) invece della base di \(B\)? O è un errore di digitazione?

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"vict85":\(X\) è un sottospazio di \(\mathbb{R}^3\) o di \(\mathbb{R}^4\)? E non avrebbe più senso fornire la base di \(X\) invece della base di \(B\)? O è un errore di digitazione?

Chiedo scusa ho usato la stessa lettera per il sottospazio B e la base di X; la base è quella di X.

[vict85]

La soluzione per 1 è corretta. Per 2 ti basta prendere un sottospazio che ha dimensione almeno 2 e che ha intersezione non nulla con \(X\). Quindi ti basta considerare il sottospazio \(A\oplus \mathbb{R}\mathbf{v}\) con \(\mathbf{v}\in X\).

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"vict85":La soluzione per 1 è corretta. Per 2 ti basta prendere un sottospazio che ha dimensione almeno 2 e che ha intersezione non nulla con \(X\). Quindi ti basta considerare il sottospazio \(A\oplus \mathbb{R}\mathbf{v}\) con \(\mathbf{v}\in X\).

Grazie mille per l'aiuto