Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
Domande e risposte
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Salve, vi scrivo per chiedervi aiuto riguardo la risoluzione del seguente esercizio.
Dati:
Sia g il prolungamento ad $ mathbb(R) $ per periodicità di
$ x in ]-pi , pi ]rarr x(1-x^2/pi ^2) $
e sia
$ sum_(n = 1)^(+oo) b_n sin(nx) $
la sua serie di Fourier
L'esercizio mi chiede il valore della somma della serie: $ sum_(n = 1)^(+oo) (-1)^n n b_n $
Per risolvere l'esercizio, data la presenza del termine $ n b_n $ , credo si debba considerare la serie di Fourier della derivata prima della funzione e dunque applicare il teorema di ...
Posto in questa sezione dato che questo dubbio mi è venuto studiando il lemma di Riesz e la sfera unitaria.
Supponiamo di avere uno spazio metrico $(X,d)$, voglio dimostrare che lo spazio metrico non è totalmente limitato.
Se dimostro che, fissando $r=1$ per esempio, per ogni $n in NN$ esistono $n$ palle di raggio $r$ disgiunte che non ricoprono $X$. Posso concludere che lo spazio non è totalmente limitato? E se si, come ...
Buonasera , chiedo scusa, se dato uno spazio di misura X (con relativa sigma algebra e misura) abbiamo due funzioni f, g (con dominio X e codominio il campo complesso) misurabili, allora esiste qualche teorema che afferma che anche la differenza f-g è misurabile?
Sugli appunti c'è una piccola osservazione nel paragrafo delle funzioni misurabili che afferma che (nelle condizioni sopra scritte) f+g e fg sono misurabili. Non c'è accenno a f-g.
(Ho pensato che potrei usare il fatto che sto nello ...
Buonasera . Scusatemi, ho un dubbio. Se abbiamo uno spazio di misura X (con relativa sigma algebra e misura) e una funzione f: X -> C misurabile con C campo complesso, allora come si arriva a poter affermare che, preso 1 $<=$ p < $\infty$ allora anche $f^p$ è misurabile? Non sono riuscita a trovare la motivazione. Esiste qualche teorema che possa aiutare in ciò?
Vi ringrazio tanto tanto tanto tanto tanto tanto
Ciao a tutti,
Mi sapreste fare un esempio di operatore lineare continuo bigettivo tra due spazi normati che non sia isomorfismo topologico?
Per isomorfismo topologico intendo un operatore tra due spazi normati su \( \mathbb{K}(=\mathbb{R}, \mathbb{C}) \) \( T:X\longrightarrow Y \) lineare continuo bigettivo e con inversa continua.
Se prendo X, Y spazi di Banach un operatore lineare continuo e bigettivo è sicuramente isomorfismo topologico quindi il controesempio va ricercato in spazi non di ...
Ciao a tutti.
avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere questo esercizio.
Es. Sia $ (X,\mathcal{M}) $ uno spazio misurabile dove $ X $ è l'insieme in questione e $ \mathcal{M} $ è la $ \sigma $ -algebra associata.
Indichiamo con $ M^{\mathbb{K}}(X,\mathcal{M}) $ l'insieme delle misure complesse a valori in $ \mathbb{K} $.
Tale spazio risulta uno spazio vettoriale su $ \mathbb{K} $.
E' vero che $ M^{\mathbb{K}}(X,\mathcal{M}) $ ha dimensione finita $ \iff $ ...
E' il periodo dell'analisi funzionale e misura complessa.
Avrò un sacco di cose da chiedere visto che ho iniziato a studiarla da poco e questo è un mese dove giustamente i prof vanno in vacanza
Dovrei risolvere questo esercizio.
Es. Siano $ X $ uno spazio di Banach su $ \mathbb{K} (=\mathbb{R}\text{ o }\mathbb{C}) $, $ Y\subseteqX $ un sottospazio chiuso , $ x\inX $.
E' vero che esiste $ y_x\inY $ tale che $ \norm{x-y_x}_X=dist(x,Y) $ dove $ dist(x,Y)=\text{inf}\{\norm{x-y}_X :y\inY \} $?
Sicuramente se lo spazio X fosse ...
Ciao!!
Mi trovo a dover calcolare il seguente integrale:
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
Fattorizzando il denominatore si ottiene: (2z-i) (2z+i)
Dunque il dominio di olomorfia dell'integranda: C\{ +-i/2}
Io vorrei utilizzare la formula di Cauchy come segue:
definisco $f_1(z)=(Im[z])/ (2z+i)$ che è olomorfa su e dentro la curva (giusto?) e poi applicherei la formula di cauchy:
$ int_gamma (Im(z))/((2z+i)(2z-1))=int_(gamma)^() f_1(z)/(2 z -i) dx =1/2*2pif_1(i/2) $
ma il risultato non corrisponde con quello del libro e ...
Salve,tempo fa feci una domanda su come ottenere un funzionale,partendo dal primo membro dell'equazione di Euler-lagrange associata.Inizialmente però posi male la domanda,non conoscendo la differenza tra le equazioni di E-L e la variazione prima.E quindi mi dissero che se volevo ricavarmi un funzionale partendo dalla sua variazione prima avrei dovuto generalizzare il concetto di integrale di linea al caso infinito-dimensionale(il link del topic è ...
Salve,vi sarei molto grato se qualcuno potesse aiutarmi a esprimere esplicitamente la soluzione di questa PDE(con "esprimere esplicitamente la soluzione " intendo:individuare esplicitamente o come somma di una serie di funzioni oppure come un integrale la soluzione).La PDE che non mi da pace è questa:
\( y'(x)\frac{\partial^2 f(y(x),y'(x))}{(\partial y(x))^2}-(y'(x)+y''(x))\frac{\partial^2 f(y(x),y'(x))}{\partial y(x)\partial y'(x)}-\frac{\partial f(y(x),y'(x))}{\partial y(x)}=f(y(x),y'(x)) ...
Buonasera
Devo risolvere questo integrale:
$int_(-infty)^(+infty) (2x^2-xsin(pi x))/(16x^4-1) dx$
L'integrando ha due discontinuità eliminabili in $+- 1/2$ ed è infinitesimo di ordine 2, quindi l'integrale è assolutamente convergente.
Per calcolarlo, considero la funzione ausiliaria
$f(z)=(2z^2-z e^(i pi z))/(16z^4-1)$
che, per $z=x in R$, ha coefficiente dell'immaginario coincidente con l'integrando. Quindi l'integrale è dato da
$Im(int_-infty^(+infty) f(z) dz)$
Tra i poli di $f(z)$, l'unico rilevante ai fini del calcolo dell'integrale è ...
Salve a tutti,
non riesco a capire come mettere a sistema le soluzioni di una equazione alle derivate parziali di second'ordine per il calcolo della soluzione particolare date le condizioni iniziali.
il problema è il seguente:
$ (partial^2U)/(partial t^2) = 16 (partial^2U)/(partial x^2) $
con $ Ux(0,t)=Ux(4,t)=0 $ per $ t>=0 $
e $ U(x,0) = 2cos(5pix) +cos(3/4pix) $ per $ 0<=x<=4 $
quindi, applico la trasformata coseno di fourier posta $ u(n,t) = F c {U(x,t)} $
e il tutto diventa $ (d^2u)/dt^2 = - eta^2 pi^2 u $
con polinomio caratteristico ...
Salve a tutti,
dovrei risolvere la seguente equazione:
$y'(t) + int_0^t tau y (t - tau) d tau=cos(t)delta(t)+e^(t-1)H(t-1)$
Potreste dare un'occhiata al mio procedimento? Non sono per niente sicuro di quello che ho fatto.
Come prima cosa ho "diviso" l'equazione in due
$"(1)"$: $y'(t) + int_0^t tau y (t - tau) d tau=cos(t)delta(t)$
$"(2)"$: $y'(t) + int_0^t tau y (t - tau) d tau=e^(t-1)H(t-1)$
La trasformata della $"(1)"$ mi viene: $s hat(y) + 1/s^2 hat(y)=1 => hat(y)=s^2/(s^3+1)$
e su questa prima parte sono abbastanza sicuro, per quanto riguarda la $"(2)"$ ho applicato la formula del ...
Salve a tutti!! Ho qualche piccolo problemi con la trasformata di Laplace di un prodotto tra la delta di Dirac (e le sue derivate) e una funzione:
ESEMPIO: come faccio a calcolare le seguenti trasformate?
$t*delta(t)$
$t'*delta(t)$
o comunque in generale:
$f(t)*delta(t)$
$f(t)^(n)*delta(t)$
Mi sono accorta che all'orale il prof richiede molto gli esempi.
Ha chiesto esempi di operatori limitati e non limitati. Ora, non so se ho capito bene ma ho sentito un " n operatore".
Può essere? Che intendesse dire An operatore?
Potreste farmi in caso un esempio reale di operatori limitati.
Inoltre ha chiesto anche esempi di spazi non di banach e quindi non completi. Mi sembra che i numeri razionali come sottospazio dei numeri Rn, sp.di Ban, siano normati ma non completi. Giusto?
Cercando ...
Ciao a tutti!
Il problema che ho davanti è il seguente: so che una funzione è derivabile in senso complesso se esiste il $lim_(w->0)(f(z_0+w)-f(z_0))/w$; e voglio arrivare a mostrare che ciò equivale alla definizione di funzione olomorfa $f(z_0+w)-f(z_0)=\gamma w+ \omega (w)|w|$ con $\omega (w)->0$ per $w->0$, ed ho proceduto come segue.
Denomino $\gamma$ il limite del rapporto incrementale, ovvero $f'(z_0)=\gamma$. Poi utilizzo lo sviluppo in serie: $f(z_0+w)=f(z_0)+\gamma w + o(w)_(w->0)$. A questo punto mi sento vicinissimo, ma ...
Salve,se non vi reca disturbo,qualcuno potrebbe darmi una mano con questo esercizio?
L'esercizio è:"Trovare l'autofunzione dell'operatore $T$,tale che
\( Tf(x,p(x),p'(x))=\partial_p(\partial_xf)-\partial_x(\partial_{p'}(\partial_x f)) \) ,con \( f\in L^p \) , \( p \in C^1([a,b]) \) ,dove in questo caso $a=-oo$ e $b=+oo$ e con l'autovalore \( \lambda\not=0 \) "
Inoltre so che \( f\not=0\wedge f\not=c \).
Nel tentativo di risolverlo ho trovato questa ...
Ciao a tutti!
Durante questa calda sessione mi sono incappato nelle funzioni di variabile complessa ed ho scoperto di avere pesantissime lacune anche nell'analisi di base.
Tutto è nato quando ho incontrato la definizione di funzione olomorfa. Le dispense del mio professore, a mio parere, pur dando tutte le definizioni corrette, creano qualche dubbio al lettore.
Tutto procede su due staffe: si definisce innanzitutto per le funzioni complesse l'olomorfismo come $ f(z_0+w) - f(z_0) = \gamma w + \omega (w) |w| $, con ...
Volevo chiedere se qualcuno poteva darmi un parere riguardo la seguente affermazione.
Sia $f\in C^\infty(\RR\ \text{x}\ \RR^d)$ e sia $g\in\L^2(\RR^d)$ allora la funzione
\[
F:R \to L^2( R^d) \quad [F(t)](x)=f(t,x)g(x)
\]
è $C^\infty(\RR,L^2(\RR^d))$.
Io mi trovo in un caso speciale in cui questa affermazione vale; mi chiedevo se valeva però in generale come scritto sopra.
Grazie per l'aiuto.
Ciao a tutti. Ho difficoltà con il seguente esercizio:
Determinare a quali spazi di Lebesgue $L_p(\mathbb{R})$, con $1 ≤ p ≤ ∞$, appartiene $f(x) ≡ {1 − cos x}/|x|^\alpha$ con $\alpha$ reale.
Per $\alpha<0$ la funzione non appartiene a nessuno spazio di Lebesque, poichè non è limitata.
Per $\alpha=0$ la funzione diventa $f(x) ≡ 1 − cos x$ che appartiene solo a $L_{\infty}(\mathbb{R})$, poichè ha un massimo in $2$.
Ma non capisco come agire per ...
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