Esempio operatore che non sia isomorfismo topologico

[mauri54]

Ciao a tutti,
Mi sapreste fare un esempio di operatore lineare continuo bigettivo tra due spazi normati che non sia isomorfismo topologico?

Per isomorfismo topologico intendo un operatore tra due spazi normati su \( \mathbb{K}(=\mathbb{R}, \mathbb{C}) \) \( T:X\longrightarrow Y \) lineare continuo bigettivo e con inversa continua.
Se prendo X, Y spazi di Banach un operatore lineare continuo e bigettivo è sicuramente isomorfismo topologico quindi il controesempio va ricercato in spazi non di Banach....solo che non mi sta venendo in mente:(

[Luca.Lussardi]

Certo, sui Banach e' vero perche' e' il teorema dell'applicazione aperta. La classica strada per il controesempio e' prendere l'identita' con topologie diverse. Per esempio potresti prendere $X=l^1$ con la sua norma e $Y=l^1$ con la norma del sup. Mi sembra che l'identita' $X\to Y$ sia continua ma non sia aperta...

[mauri54]

cee provoo

[Luca.Lussardi]

Se non conosci gli $l^p$ puoi forse anche fare con $C^0(0,1)$, da una parte ci metti la norma del sup e dall'altra la norma $L^1$, mi sa che funziona uguale e forse e' piu' classico e si "vede" meglio...