Analisi superiore

Salve stavo svolgendo il seguente esercizio di Analisi Funzionale e ho un dubbio su un punto. Siano $ A != O/ $, $V := l^2(A)$ insieme delle funzioni $f: A -> K$ (K campo) tali che $ sum_(a = A) |f(a)|^2 < oo $ con le operazioni definite da: $(lambda f)(a) = lambda f(a) $ e $(f+g)(a) = f(a) + g(a)$ per ogni $a in K$, $f,g in V$. Dimostrare che: 1) V è spazio vettoriale 2) $<f|g> := sum_(a=A) bar(f(a)) g(a) $ con $f,g in V$ è prodotto scalare 3) $(V, <.|.>)$ è una spazio di Hilbert Allora per i ...

Ciao a tutti. Ho difficoltà a calcolare il seguente integrale $\int_{0}^{+\infty}{ln(x)}/{x^2+3x+2}dx$ Il procedimento che ho usato è il seguente. Pongo $f(z)={log(z)}/{z^2+3z+2}$ Le singolarità sono $z=-1$ e $z=-2$ entrambi sono poli semplici. Mentre i residui sono $Res(f(z),-1)=\lim_{x \to -1}{log(z)}/{z+2}=i\pi$ $Res(f(z),-2)=\lim_{x \to -2}{log(z)}/{z+1}=-ln(2)-i\pi$ Poi non sono riuscito a continuare. Ho provato a calcolarlo con lo stesso metodo per gli integrali con le funzioni polidrome $x^{1/p}$ usando come percorso di integrazione il semicerchio ...

Ciao a tutte/i, spiego in breve la mia situazione. Ho uno scritto di "Analisi Funzionale" a breve, diciamo su Spazi di Banach, operatori e un accenno a Sobolev. Ho studiato la teoria, forse anche troppo, nel senso che ho il cervello in pappa e quando poi affronto gli esercizi degli scritti passati ho solo una gran confusione in testa. Quello che mi manca, credo, è qualcosa di riepilogo/discorsivo che mi aiuti a fare un quadro generale.. per fare un esempio, so enunciare e dimostrare Hahn ...

Ciao a tutti. Ho difficoltà con il seguente integrale $PV\int_{0}^{+\infty}1/{x^p(1-x)}dx$ dove $0<p<1$ e $PV$ è il valor principale di Cauchy. Vi riporto il procedimento che ho seguito: Pongo $f(z)={z^{-p}}/{1-z}$ che ha un polo semplice in $z=1$ il cui residuo è $Res(f(z),1)=\lim_{x \to 1}[(z-1)f(z)]=\lim_{x \to 1}[-(z^{-p})]=-(1^{-p})$ Poi non so come continuare. Il risultato del professore è $-p{cos(\pip)}/{sen(\pip)}$ dove $0<p<1$ Potete, per favore, aiutarmi?

Buonasera, stavo cercando di risolvere questo problema riguardo l'appartenenza di una funzione a L1 e L2. il testo dice: Scrivere la trasformata di Fourier della derivata di G e dire se essa appartiene a L1 o L2. Inoltre mi dà la trasformata di G, cioè la seguente: [tex]\frac{2}{1-\omega ^2}\left(\frac{1}{\omega }sin\left(\frac{\pi }{2}\omega\right) + cos\left ( \omega \pi \right )\right)[/tex] Ora, so che per ottenere la trasformata di Fourier della derivata di G basta moltiplicare la ...

Buonasera, stavo ragionando riguardo il raggio di convergenza della serie di Taylor; il testo dice questo: Qual è il raggio di convergenza della serie di Taylor di f di punto iniziale $ (1+i)/4 $ ? dove [tex]f(z)=\frac{e^{2z-1}-1}{cos(\pi z)(z^2+1)}[/tex] la risposta esatta è: [tex]\frac{\sqrt{10}}{4}[/tex] Ho provato a considerare la serie di taylor come una particolare serie di potenze il cui termine an è dato dalla derivata n-esima ecc. Tuttavia mi son reso conto che non è il modo ...

Ciao a tutti! Per motivi più di interesse personale che legati al mio dottorato voglio indagare la buona posizione di un'equazione differenziale parabolica. In un corso universitario lo abbiamo fatto con metodi di punto fisso [teoremi di Schauder e Leray-Schauder] passando dalla formulazione variazionale e costruendo un opportuno operatore che iterato costruisce una successione convergente. L'ho visto per il caso ellittico, per esempio \[ \begin{cases} - \nabla \cdot(k(u)\nabla u) = f & \text{ ...

Ciao a tutti. Ho alcuni dubbi sul calcolo del seguente integrale tramite i residui: $PV\int_{-\infty}^{+\infty}e^{ikx}/xdx$ dove $k$ appartiene ai reali e $PV$ indica il valor principale di Cauchy. I miei dubbi sono i seguenti: 1) L'unica singolarità è il polo semplice $z=0$ quindi il percorso di integrazione deve "aggirare" tale singolarità descrivendo un semicerchio intorno ad essa, però quale percorso di integrazione devo scegliere in questo caso? 2) Il risultato del ...

Buona domenica a tutti Ho dei problemi riguardo la trasformata di Laplace di integrali. Le ho provate tutte, applicando la definizione ma non riesco a trovare la soluzione giusta. Ho visto in alcuni esempi che si utlizza il teorema di FubiniTonelli, ma io non riesco ad applicarlo alla trasformata di laplace ( a volte cambiano gli estremi e io non riesco a capirne il senso logico). Vi propongo un esempio in cui si chiede la risoluzione di un problema di Cauchy, in funzione di U , ( ho problemi ...

Ciao a tutti, mi servirebbe un aiuto su questo esercizio: Sia $f: \mathbb{R} to \mathbb{R} $ una funzione integrabile su $\mathbb{R} $ rispetto alla misura unidimensionale $\mu$ di Lebesgue. Posto $A_n = \{x ∈ \mathbb{R} : n − 1 \leq \abs{f(x)} < n \}$ per $n \in \mathbb{N}$, a) controllare la misurabilità degli insiemi $A_n$ e provare che $\lim_{n\to\infty} \mu (A_n)=0$; Dato che la funzione f è integrabile lo è anche il suo modulo, e inoltre entrambe sono misurabili; gli $A_n$ sono parti di controimmagini di f per ...

Buon pomeriggio a tutti, sono alle prese con il seguente esercizio: Si risolva per t>0, tramite le trasformate di Laplace, la seguente equazione $ y'''(t)+y(t) = [2+sin(t)]*[delta(t)+delta'(t)]+chi [1,2](t) $ essendo $ chi[a,b](t) $ la funzione caratteristica relativa all'intervallo [a,b] e $ delta(t) $ la Delta di Dirac. Per risolvere l'esercizio in questione, su suggerimento del prof, ho trasformato primo e secondo membro. Vorrei sapere se quello che ho fatto è giusto: $ L(y(t))(s)= y(s) $ $ L(y'''(t))(s)= s^3*y(s) $ Il secondo ...

Ciao ragazzi! Sto cercando di risolvere questo esercizio. Dice: Nello spazio di Hilbert: $ l^2={ c= (c_0,c_1,c_2...) : sum_(j=0)^oo |c_j|^2<oo}$ si consideri l'operatore $ A: (c_0,c_1,c_2...) |-> (c_1,sqrt2c_2,sqrt3c_3...) $ a) si determini il dominio D di A. Il libro me la risolve così: Un vettore $ c in l^2 $ è nel dominio di $A$ se e solo se $Ac in l^2$. Si ha: $ ||Ac||^2= sum_(j=1)^oo |c_j|^2<oo $ \( \Longleftrightarrow |c_j|^2 \sim \) $ 1/(j^(2(1+\epsilon)) $, $ epsilon > 0 $ per grandi $ j $ Da cui + $ D(a)={c=(c_0,c_1,c_2...)in l^2 : sum_(j=0)^oo j|c_j|^2<oo } $ = ...

Ciao ragazzi, sto cercando di svolgere questo esercizio ma ci sono dei passaggi che non capisco. Qualcuno potrebbe illuminarmi? Grazie Esercizio: Verificare $ I= int_(0)^(oo) dx/[x^alpha (1+x)] = \pi/sin (\pialpha ) $ Io procedo seguendo i teoremi dell'analisi complessa: $ int_(0)^(oo) f(x) dx = 1/2 int_(oo)^(oo) f(x) dx = \pii sum Res f(x) $ Ho un polo semplice per $ z=-1 $ e calcolo il residuo ottenendo $ 1/z^alpha $ e sostituisco $ z = rho (cos \pi + isin \pi) $ che per $ rho =1 -> z = e^(i\pi) $ e quindi $ z^alpha = e^(i \pi alpha) $ Ora.... Nello sviluppo dell'esercizio $ I = (2\pii)/(1 - e^-(2 \pii alpha )) (1/z^alpha) = (2\pii)/(1 - e^-(2 \pii alpha )) (1/e^(\pii alpha)) $ Non ...

L'esercizio mi chiede di verificare che la funzione $f_+(x) (f_-$$(x) )$ appartenga al sottospazio $ V_+(V_- ) $ delle funzioni pari (dispari) , ma vedo che nello svolgimento dell'esercizio verifica solo che $f_+(-x) = f_+(x)$ e $f_- $ $(-x) = - f_-$ $(x)$ Mi chiedo, è sufficiente questo? Grazie

Salve,se non vi reca disturbo,potreste spiegarmi la differenza fra il calcolo differenziale in $R^n$ e il calcolo differenziale negli spazi di Banach?

Buongiorno a tutti! Ho un dubbio su un esercizio di metodi matematici della fisica, per il quale spero possiate darmi qualche consiglio. Riporto integralmente il testo: Calcolare i coefficienti $c_{-1}$ $c_0$ e $c_1$ dello sviluppo di Laurent con centro $z_0 = 2/sqrt(3) +2i$ della funzione $f(z) = sqrt(z) log(z) 1/{z^2+4}$ in tutte le regioni in cui lo sviluppo esiste, sapendo che $log(-1)=3 pi i$ e $sqrt(-1)=e^{i 3/2 pi}$ e che il taglio coincide con il semiasse reale ...

Ho due operatori definiti in \[L^2(-\pi ,\pi )\] definiti così \[Tf(x)=e^{ix}f(x)\] \[Sf(x)=i\frac{d}{dx}f(x)\] O=ST Devo dire se sono unitari, autoaggiunti, se possono essere resi autoaggiunti, trovare il ker di O e gli autovettori/autovalori. Parto con il primo \[\int f^*Tg=\int f^*e^{ix}g=\int e^{ix}fg\] quindi sembra che T+=T ed è unitario per x=1/2i Con il secondo ho più dubbi ma provo \[\int f^*i\frac{d}{dx}g(x)=\int ii \frac{d}{dx}fg \rightarrow S^+=-\frac{d}{dx}\] e non è ...

Salve a tutti, non riesco a risolvere il seguente problema: Determinare il potenziale elettrostatico V dentro una cavità cilindrica infinita di raggio alpha se la superficie si mantiene ad un potenziale fisso dato per 2α^3 cos^2(φ)sen(φ) essendo phi l'angolo azimutale rispetto all'asse centrale del cilindro

Buon giorno a tutti, ieri all'esame di Metodi Analitici e Numerici è stato proposto un esercizio in cui si chiedeva di trasformare la seguente funzione. $ f(x)=\frac{96\sqrt{2}*sin\frac{x}{2}}{(8x^2+9)^2} $ Nessuno che io conosca è riuscito a risolverla. Se ci fosse stata una $x$ al numeratore sarebbe stato sufficiente scomporre il seno in esponenziali, integrare la funzione fratta e poi applicare la traslazione e la trasformata della derivata. In tanti hanno chiesto al prof se mancasse una $x$ a ...

Ciao a tutti! Facendo diversi esercizi sul calcolo degli integrali col metodo dei residui ho trovato difficoltà col seguente esercizio: sia f una funzione definita da: $ f(z)=1/(z(e^z-1))+z^4/(z^3+27),z\in C $ . 1)calcolare e classificare le singolarità della funzione. 2)calcolare l'integrale di f lungo il quadrilatero di vertici $ -4-i,4-i,4+i,-4+i $ percorso in senso antiorario svolgimento: 1) Ho calcolato le singolarità di questa funzione e le ho classificate: \( z^3+27=0 \Longleftrightarrow ...