Analisi superiore

Cercando su internet ho trovato questa dimostrazione (in cui alla fine il segno è sbagliato, ma lasciamo stare) dell'identità di Plancherel: https://math.stackexchange.com/question ... ls-formula Mi torna tutto, tranne alla terza riga quando praticamente dice che $\int _{-\infty} ^{+\infty} e^{i(\omega - \omega ')t} dt = 2 \pi \delta(\omega- \omega ')$, con $\delta$ il delta di Kronecker. Come fa a dire che vale quella cosa se sta integrando da meno infinito a più infinito? Mi tornerebbe se integrasse su un periodo, ma scritto così l'integrale non dovrebbe essere indefinito? Grazie ...

Salve,se non vi dispiace potreste aiutarmi a dimostrare che: $ delta(x)f(x)=delta(x)f(0) $ dove $delta(x)$ è la delta di Dirac

Ciao a tutti, sto affrontando le serie di Laurent e avrei delle domande. Vi riporto lo svolgimento di un esercizio. Devo scrivere la parte principale dello sviluppo in serie di Laurent di centro $z_0=i$ di $f(z)= 2 ((z^3)/(z^2 +1))$. Prima di tutto ho calcolato le singolarità, che mi risultano essere $-i,+i$. Posso dire che sono poli di ordine $1$. Dalla teoria ho la definizione di parte principale, cioè $a_(-p) (1/(z-z_0)^p)......a_(-1) (1/(z-z_0)^1)$ Nel nostro caso, cioè ordine ...

Salve a tutti, una domanda sapendo che: - un sistema è causale se l'uscita non dipende da valori dell'ingresso per istanti futuri - se io do all'ingresso di un sistema causale un segnale causale ottengo un'uscita causale analizzando un sistema a tempo discreto del tipo: y[n]=1+x[n-1] questo sistema sembra proprio essere causale, ma se io do all'ingresso un segnale causale come la successione unitaria u[n] che per l'appunto è nulla per n

Salve, la mia domanda è: data una distribuzione regolare \(T_{f}\) associata alla funzione \( f : \mathbb{R} / \{ x_{0} \} \longrightarrow \mathbb{R} \) , è possibile calcolare la sua derivata \( T'_{f} \)? In tutti gli appunti che ho trovato sull'argomento partono dal fatto che la \( f \) deve essere una funzione definita in tutto \( \mathbb{R} \), e ivi localmente sommabile. Ad esempio, in un esercizio mi si richiede di calcolare la derivata della distribuzione regolare associata alla ...

Salve a tutti, ho trovato il seguente risultato: data $J_n(t)=(1/t\int_0^t f(s)^n ds)^{1/n}$ con $f(s)>0, \forall s$, segue $\lim_{n->oo} J_n(t)=\max_{0\leq s \leq t} f(s)$ e ${d J_n(t)}/{dt} = {J_n(t)^{1-n} }/{nt}(f(t)^n-J_n(t)^n)$ Avete idea di come si possano dimostrare queste uguaglianze? Per il limite, ho provato ad usare de l'Hopital ma non credo sia la strada giusta... Grazie

Data una funzione \( f \) localmente integrabile, una distribuzione \( T \) ad essa associata ed una funzione \( \varphi \in \mathcal{D}\) (con \( \mathcal{D} \) spazio delle funzioni test), si definisce la distribuzione di \( T \) associata ad \( f \) come \( T_{f} = \int ^{a} _{b} f(x) \varphi (x) dx \) e, per essere tale, deve rispettare i vincoli di essere lineare e continua. Per la linearità non ho grossi problemi perché è abbastanza intuitiva, ma per la continuità? Dal punto di vista ...

Salve a tutti. Ho questo esercizio: Calcolare \[ \lim_{n \to + \infty} \int_0^{+\infty} \left ( 1+ \frac{x}{n} \right )^{n} e^{-3x} \text{ d}x . \] Vi propongo il mio ragionamento che credo sia corretto (grazie anche a qualche suggerimento avuto qui sul forum..grazie.) Se posso invertire limite e integrale, di conseguenza l'esercizio diventa facile. Devo poter applicare il teorema di convergenza monotona: a tal fine le $fn$ devono essere misurabili, non negative e ci deve essere ...

Mi potreste aiutare a risolvere il seguente esercizio: Let $U \subset \mathbb{R]^n$ be an open, bounded domain that satisfies an exterior sphere condition, that is for every point $\xi \in \partialU$ there exists a ball $B= B_R(y)$ satisfying $\bar{B] \cap \bar{U}=\{\xi\}$. Given such $\xi$ and $B$, show that the function $w(x)= R^{2-n} - |x-y|^{2-n},$ for $n \geq 3$ and $log(|x-y|/R)$ for $n=2$ is an upper barrier (for the Laplacian) at $\xi$. (that is show ...

Data $ T(t) = e^t * \delta_5(t+2) $, calcolare la trasformata di Fourier di \(\displaystyle T \). Io ho usato la traslazione, ottenendo $ e^(4\piiw)*F(e^(t-2)* \delta_5(t)) = e^(4\piiw)*F(e^(5)) $, dato che la moltiplicazone per $\delta$ equivale a valutare la funzione in $t=5$. Continuando però non ottengo il risultato corretto... Quale di questi passaggi è sbagliato?

Ciao ragazzi, qui di seguito vi riporto alcuni esercizi su cui avrei delle piccole domande. 1) prima di tutto, qualcuno per favore mi chiarisca una volta per tutte come posso scrivere in simboli qui sul forum l'espressione "limite che tende a + infinito" e l'integrale con gli estremi. Non riesco a trovare nulla nei simboli 2) Ho questo esercizio: Calcolare: \[ \lim_{n\to +\infty} n\cdot \int_0^1 x^n (1-x)\ \text{d} x \] Io ho ragionato così: posto $f_n(x) = nx^n(1-x)$ ho analizzato ...

Sia $U \subset \mathbb {R}^n$ un dominio aperto e limitato con $\partial U \in C^2$ e siano $\Phi \in C^0(\partial U)$ e $f \in C_2^2(\mathbb{R}^n)$ ( $f$ ha supporto compatto). Come posso mostrare che esiste ed e' unica la soluzione $u \in C^2(U) \cap C^0(\bar{U})$ al problema di Dirichlet \begin{cases} \Delta u = f & \text{in $U$} \\ u= \Phi & \text{su $\partial U$ } \end{cases} ?

Si consideri uno spazio di Banach $ C([[0,1]]) $ delle funz. continue nell'intervallo $ [[0,1]] $ a valori reali con norma: $ || f|| = \su\p |f(x)| $ per $ x in [[0,1]] $ Appurato precedentemente che $ X={fin C([[0,1]]); f(0)=f(1)=0} $ è un sottospazio, dimostrare che $ C([[0,1]]) $ si scrive come somma diretta di $ X \oplus X segnat $ dove $ X segnat = {fin C([[0,1]]); f(x)=ax+b } $ Ora : io $f(0)-f(1)=0$ e $f(x)=ax+b $ calcolo questa seconda funzione per i due valori di $x=0$ e ...

Salve,provando a studiare le distribuzioni mi sono trovato davanti a una definizione che non capisco molto bene,se non vi dispiace potreste aiutarmi? La definizione riguarda il vedere le funzioni come distribuzioni e mi ritrovo davanti al seguente funzionale: $ int_-oo^oof(t)varphi(t)dt $ e sta scritto che una funzione puo essere vista come il funzionale sopra scritto. Ma vuol dire che: $ f(t)=int_-oo^oof(t)varphi(t)dt $ ? se sì qualcuno potrebbe spiegarmi perchè? se no qualcuno potrebbe spiegarmi cosa significa ...

Ciao a tutti, spero di aver postato nella sezione corretta. Sto affrontando teoria della misura e dopo aver dimostrato Beppo-Levi mi accingo come da titolo alla dimostrazione del Lemma di Fatou, di cui ho questa versione. Sia ${f_k}$ una successione di funzioni misurabili non negative, $f_k:RR^n \rarr [0,+\infty]$, allora se $f(x)= lim i n f_(k \rarr \infty) f_k$ si ha $ int_{RR^n}f(x)dx \leq lim i n f_(k \rarr \infty) int_{RR^n}f_k(x)dx $ Proof: Per la stabilità delle funzioni misurabili si ha che $f(x)$ è una funzione ...

Salve, sto studiando sul Rossetti (quì) da pag. 464 , cercando di capire la dimostrazione dell'esistenza ,e dell'olomorfismo, della soluzione di un'equazione differenziale del secondo ordine nell'intorno di un punto regolare. Vado subito al punto non chiaro. Abbiamo il sistema di equazioni : $\{(u'=etau+rhov),(v'=varphiv+chiu),(u(z_0)=alpha),(v(z_0)=beta):}$ siamo in un cerchio di centro $z_0$ in cui le funzioni che moltiplicano $u,v$ sono olomorfe , e pongo $M=max{|eta|,|rho|,|varphi|,|chi|}\quad,\quad m>={|alpha|,|beta|}\quad,\quad r=|z-z_0|$ Ci si può ricondurre a un ...

Si consideri il set di funzioni di \[L^2 (-\infty, +\infty):f_{n}(x)=\frac{1}{1+(nx)^2}\] 1.Il set è completo? 2.La successione converge in norma L^2 alla funzione nulla? Posto che ho molta confusione sui set, come faccio a trovare una funzione che non mi dia la funzione nulla? Devo mandare all'infinito sia n che x? Ma allora anche x moltiplicata alla f fa a 0 e risulta ortogonale! E un set completo è solo sin e cos? Mi fate degli esempi? Se non è completo è denso? La norma viene risolta con i ...

Salve,se non vi dispiace potreste chiarirmi cosa sono e a cosa servono le distribuzioni?

Raga sono in crisi pesante, non riesco a capire la dimostrazione che $(L^(\infty)(X),||.||_infty)$è uno spazio di banach... $ \forall \epsilon >0 \exists N(\epsilon)>0 : \forall n,m>N(\epsilon) \rightarrow ||(fn-fm)||_\infty<\epsilon$ Ora creo gli insiemi $A_n=\{x\inX:|f_n|>||f_n||_\infty \},E_n=\{x\inX:|f_n-f_m|>||f_n-f_m||_\infty \}$ che sono misurabili la cui misura è nulla. definisco poi $A=\bigcup_n(A_n),E=\bigcup_n(E_n)$ a loro volta anche A ed E sono misurabili e per la subadditivitò la lori misura è nulla. Considero$X_0=A\cupB$ che è sempre misurabile e con misura nulla. A questo punto so che $\forallx\inX-X_0, |f_n-f_m|<||f_n-f_m||_\infty<\epsilon$ dunque per il criterio di cauchy uniforme esiste una ...

Ciao a tutti. Sto provando a risolvere un esercizio riguardo la classificazione delle singolarità di una funzione. $f(z)=\frac{e^{iz+1}-1}{(z^2+1)^2}$ Io ho trovato due poli: un polo di primo ordine in $i$ ed un polo di secondo ordine in$-i$. C'è anche un altra singolarità essenziale in infinito , ma non so come calcolarla. Qualcuno potrebbe aiutarmi?