Operatori differenziali
Buongiorno. Posto il testo di un esercizio con cui ho difficoltà.
Dato l'operatore $A=-d^2/dx^2$ agente sulla varietà lineare, densa in $L_2[a,b]$, delle funzioni $f$ tali che $Af in L_2[0,L]$, con $f(0)=f(L)=0$, mostrare che $A$ è autoaggiunto in tale spazio e determinarne autovalori e autofunzioni.
Allora, ho dimostrato che $A$ è autoaggiunto e ho scritto l'equazione agli autovalori $(lambdaI-A)f=0$ cioè, ponendo $f(x)=y$,
$y''+lambday=0$.
Ho risolto l'equazione differenziale ottenendo $y=c_1e^(-isqrt(lambda)x)+c_2e^(isqrt(lambda)x)$. A questo punto dovrei trovare i valori delle costanti $c_1$ e $c_2$ ma non ho la condizione iniziale sulla derivata prima.
Ho comunque provato ad imporre le condizioni $y(0)=0$ e $y'(0)=0$ e ho trovato $c_1=1$ e $c_2=-1$. Quindi la soluzione riscritta con i valori delle costanti è $y=e^(-isqrt(lambda)x)-e^(isqrt(lambda)x)$.
Qui mi blocco. Quali sono gli autovalri di $A$? Che tipo di spettro ha e quali sono le autofunzioni?
Il mio testo riporta che lo spettro è solo puntuale con $sigma_p=lambda_n, ninNN^+, lambda_n=n^2pi^/L^2$ e che le autofunzioni sono $psi_n=sin(npix/L)$.
Grazie per l'attenzione.
Dato l'operatore $A=-d^2/dx^2$ agente sulla varietà lineare, densa in $L_2[a,b]$, delle funzioni $f$ tali che $Af in L_2[0,L]$, con $f(0)=f(L)=0$, mostrare che $A$ è autoaggiunto in tale spazio e determinarne autovalori e autofunzioni.
Allora, ho dimostrato che $A$ è autoaggiunto e ho scritto l'equazione agli autovalori $(lambdaI-A)f=0$ cioè, ponendo $f(x)=y$,
$y''+lambday=0$.
Ho risolto l'equazione differenziale ottenendo $y=c_1e^(-isqrt(lambda)x)+c_2e^(isqrt(lambda)x)$. A questo punto dovrei trovare i valori delle costanti $c_1$ e $c_2$ ma non ho la condizione iniziale sulla derivata prima.
Ho comunque provato ad imporre le condizioni $y(0)=0$ e $y'(0)=0$ e ho trovato $c_1=1$ e $c_2=-1$. Quindi la soluzione riscritta con i valori delle costanti è $y=e^(-isqrt(lambda)x)-e^(isqrt(lambda)x)$.
Qui mi blocco. Quali sono gli autovalri di $A$? Che tipo di spettro ha e quali sono le autofunzioni?
Il mio testo riporta che lo spettro è solo puntuale con $sigma_p=lambda_n, ninNN^+, lambda_n=n^2pi^/L^2$ e che le autofunzioni sono $psi_n=sin(npix/L)$.
Grazie per l'attenzione.
Risposte
Ciao,non vorrei dire una sciocchezza, ma penso che dovresti usare la condizione y(L)=0, che fino a ora non hai usato.
Se no da dove esce fuori quell' L negli autovalori?
Ho provato a fare i calcoli imponendo y(L)=0 e mi vengono gli autovalori simili alla soluzione che hai scritto. solo che mi viene anche $ pi $ al quadrato. Avrò forse sbagliato qualcosa.
Se no da dove esce fuori quell' L negli autovalori?
Ho provato a fare i calcoli imponendo y(L)=0 e mi vengono gli autovalori simili alla soluzione che hai scritto. solo che mi viene anche $ pi $ al quadrato. Avrò forse sbagliato qualcosa.
Rileggendo mi sono accorta che anche $pi$ è al quadrato. Ho sbagliato io a scrivere.
Quindi tu hai imposto $y(L)=0$ quando cerco i valori di $c_1$ e $c_2$ giusto?
Quindi tu hai imposto $y(L)=0$ quando cerco i valori di $c_1$ e $c_2$ giusto?
Sì, ho fatto così.
Tra l'altro, penso che non devi usare la condizione y'(0)=0, perché non ti viene data, non c'è nulla che dica che la derivata lì sia 0, potrebbe essere visto come un errore.
Hai, invece che condizioni sulla derivata, due condizioni al bordo.
Dalla condizione $ y(0) =0 $ ricavo $ c_1=-c_2 $ , e poi imponendo $ y(L)=0 $ calcolo l'autovalore.
Scusa se non scrivo formule, ma sono tornata qui sul Forum dopo quasi tre anni e mi devo ricordare come si fa a scriverle, ora ci metto tre ore.
Tra l'altro, penso che non devi usare la condizione y'(0)=0, perché non ti viene data, non c'è nulla che dica che la derivata lì sia 0, potrebbe essere visto come un errore.
Hai, invece che condizioni sulla derivata, due condizioni al bordo.
Dalla condizione $ y(0) =0 $ ricavo $ c_1=-c_2 $ , e poi imponendo $ y(L)=0 $ calcolo l'autovalore.
Scusa se non scrivo formule, ma sono tornata qui sul Forum dopo quasi tre anni e mi devo ricordare come si fa a scriverle, ora ci metto tre ore.
No anzi, sei stata davvero di aiuto. Ora cerco di fare questi passaggi e posso postarli così ho una conferma, va bene?
Comunque si, hai ragione, la condizione sulla derivata l'ho inventata ed è sbagliato.
Ok, grazie a te.
Allora, ho imposto le condizioni $y(0)=0$ e $y(L)=0$ e dalla prima ricavo $c_1=-c_2$ ma sostituendo nella seconda equazione non riesco a capire come trovare un'espressione per $lambda$ 
Metti $ c_2 =-c_1 $ e $ x=L $ nella soluzione dell'equazione differenziale, imponi $ y(L)=0 $ e (per $ c_1!= 0 $ ), trovi $ lambda $, passando per l'esponenziale complesso.
Io ho trovato così la soluzione.
Io ho trovato così la soluzione.
Grazie grazie grazie! Venuto tutto! Sei stata gentilissima!
Grazie a te!
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