Incertezza su un diffeomorfismo

[matematicus95]

Salve,
il libro di testo di geometria differenziale che sto seguendo introduce il seguente lemma
" Sia $x:U \subset R^2 \rightarrow R^n$ una mappa (che possiede tutte le derivate parziali e continue) regolare (cioè che in ogni punto di $U$ la matrice jacobiana ha rango 2) con $U$ aperto. Sia $q \in U$ Allora esiste un intorno $U_q$ di $q$ tale che $x:U_q \rightarrow x(U_q)$ è la restrizione di un diffeomorfismo tra aperti di $\R^n$."
Come corollario mette
"Sia $x:U \subset R^2 \rightarrow R^n$ una mappa regolare e iniettiva. Allora $x$ mappa $U$ diffeomorficamente in $x(U)$."
non riesco a capire perché segue questo corollario. Allego la pagina del libro.
Grazie mille

[dissonance]

In effetti non è proprio ovvio ovvio. Siccome \(x\colon U\to x(U)\) è bigettiva per ipotesi, essa ha una inversa. Il problema è dimostrare che questa inversa è continua. È là che devi applicare il corollario precedente. Fissa un punto \(p\in U\) e dimostra che \(x^{-1}\) è continua in \(x(p)\).

[matematicus95]

fisso un punto $p \in U$. Allora esiste un intorno $U_p$ tale che $x:U_p \rightarrow x(U_p)$ \`e la restrizione di un diffeomorfismo. Chiamo questa restrizione $y$. Allora poiché $x$ è iniettiva lo è anche y e quindi posso considerare
$y^{-1}:x(p) \in x(U_p) \rightarrow p \in U_p$. Posso dire che questa è una ristretta dell'inversa del diffeomorfismo considerato prima e quindi ho finito?

[matematicus95]

poi perché $x(U)$ è aperto di $R^n$?

[dissonance]

Non lo è, infatti.

[matematicus95]

ma un diffeomorfismo non è una funzione tra aperti? anche il libro in questione lo definisce cosi (ovvero una funzione differenziabile (cioè che possiede tutte le derivate di qualsiasi ordine) tra aperti la cui inversa è ancora differenziabile. Riguardo alla mia prima risposta, ho fatto bene?

[dissonance]

Si, hai fatto bene.

Un diffeomorfismo è una funzione *tra varietà differenziabili*, differenziabile, invertibile e con inversa differenziabile.