Completezza Spazio di Hilbert
Ciao a tutti. Sono alle prese con un esercizio sulla completezza degli spazi di Hilbert.
Sono agli inizi per quanto riguarda lo svolgimento di tali esercizi e non sono ancora molto pratico. Tuttavia ho un esercizio che non riesco ad impostare e mi chiedevo se potevate darmi cortesemente una mano.
Lo spazio $H={f:\int_{0}^{1} x\abs{f(x)}^2 dx <+\infty}$ dotato di prodotto scalare: $(f,g):= \int_{0}^{1} x \bar{f(x)}g(x) dx}$, risulta uno spazio di Hilbert. Verificare la sua completezza. Mostrare inoltre che $L^2(0,1)\subset H$ e che quindi esistono $f\inH$ tali che $f \notin L^2(0,1)$.
So dalla definizione che uno spazio di Hilbert si dice completo se ogni successione di Cauchy contenuta al suo interno ammette limite in esso. Ma nel caso in esame non so come poter utilizzare e sfruttare tale definizione. Potete darmi consigli, spunti su come si deve procedere in tal caso?
Grazie mille a tutti!
Sono agli inizi per quanto riguarda lo svolgimento di tali esercizi e non sono ancora molto pratico. Tuttavia ho un esercizio che non riesco ad impostare e mi chiedevo se potevate darmi cortesemente una mano.
Lo spazio $H={f:\int_{0}^{1} x\abs{f(x)}^2 dx <+\infty}$ dotato di prodotto scalare: $(f,g):= \int_{0}^{1} x \bar{f(x)}g(x) dx}$, risulta uno spazio di Hilbert. Verificare la sua completezza. Mostrare inoltre che $L^2(0,1)\subset H$ e che quindi esistono $f\inH$ tali che $f \notin L^2(0,1)$.
So dalla definizione che uno spazio di Hilbert si dice completo se ogni successione di Cauchy contenuta al suo interno ammette limite in esso. Ma nel caso in esame non so come poter utilizzare e sfruttare tale definizione. Potete darmi consigli, spunti su come si deve procedere in tal caso?
Grazie mille a tutti!
Risposte
Ti conviene sfruttare il fatto che $L^2(0, 1)$ è completo (che è una dimostrazione non banale). Cerca un isomorfismo di $H$ su $L^2(0, 1)$. Prova ad esempio a definire una mappa $T:H\to L^2(0, 1)$ via $Tf(x)=\sqrt{x}f(x)$.
Beh, in realtà $H$ è $L^2$ ma rispetto ad una misura diversa da quella usuale (di Lebesgue) su $(0,1)$, ossia rispetto alla misura $\mu$ definita sulla $sigma$-algebra di Lebesgue attraverso l'integrale:
\[
\mu (E) := \intop_E x\ \text{d} x\; .
\]
Quindi $H = L^2(mu)$ è necessariamente completo per il noto risultato di completezza di ogni $L^p(\mu)$ (con $1<= p <= oo$) su uno spazio di misura "decente" $(X,mu)$.
Per quanto riguarda il resto, dato che $0
\| f\|_H^2 := \int_0^1 x\ \big| f(x)\big|^2\ \text{d} x \leq \int_0^1 \big| f(x)\big|^2\ \text{d} x =: \| f\|_2^2 \quad \Rightarrow \quad \| f\|_H \leq \| f\|_2
\]
e quindi è abbastanza ovvio che $L^2(0,1) \subseteq H$.
D'altro canto, per provare che l'inclusione sia propria basta trovare un controesempio: così "a occhio", direi di cercare potenze del tipo $1/x^\alpha$ che sono in $H$ ma non in $L^2(0,1)$.
\[
\mu (E) := \intop_E x\ \text{d} x\; .
\]
Quindi $H = L^2(mu)$ è necessariamente completo per il noto risultato di completezza di ogni $L^p(\mu)$ (con $1<= p <= oo$) su uno spazio di misura "decente" $(X,mu)$.
Per quanto riguarda il resto, dato che $0
\| f\|_H^2 := \int_0^1 x\ \big| f(x)\big|^2\ \text{d} x \leq \int_0^1 \big| f(x)\big|^2\ \text{d} x =: \| f\|_2^2 \quad \Rightarrow \quad \| f\|_H \leq \| f\|_2
\]
e quindi è abbastanza ovvio che $L^2(0,1) \subseteq H$.
D'altro canto, per provare che l'inclusione sia propria basta trovare un controesempio: così "a occhio", direi di cercare potenze del tipo $1/x^\alpha$ che sono in $H$ ma non in $L^2(0,1)$.
Grazie ad entrambi! Mi avete aiutato a focalizzare meglio la situazione.
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