Problema di Cauchy, risolto con Laplace

[fra_ann]

Salve, mi sono imbattuto nel seguente esercizio: "Utilizzando la trasformata di Laplace, determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy", e non sono riuscito a risolvere.
$\{
(xy''+(1-2x)y'-2y=0),
(y(0)=2),
(y'(0)=4)
:}$
Ho pensato di non fregarmene della x, ed andando avanti come se nulla fosse, essendo rimasto con il dubbio e visto che non ho trovato nulla in giro che abbia soddisfatto la mia richiesta, sono qui per chiedervi una mano.

[pilloeffe]

Ciao fraaa03,

"fraaa03":Ho pensato di non fregarmene della x, ed andando avanti come se nulla fosse

Puoi "fregartene" della $x$ (cioè considerarla come una costante) solo se $y = y(t) $, ma non se $y = y(x) $...

[fra_ann]

"pilloeffe":Ciao fraaa03,
[quote="fraaa03"]Ho pensato di non fregarmene della x, ed andando avanti come se nulla fosse

Puoi "fregartene" della $x$ (cioè considerarla come una costante) solo se $y = y(t) $, ma non se $y = y(x) $... [/quote]

Ok, però in questo caso considerando che non c'è scritto nulla, $y=y(x)$?. Se dovesse essere così, come mi posso muovere?

[pilloeffe]

"fraaa03":Ok, però in questo caso considerando che non c'è scritto nulla, $y=y(x)$?

Io fossi in te mi informerei prima dal docente o dal libro di testo casomai ci fosse il risultato. Personalmente tenderei all'interpretazione $y = y(t) $, ma se invece fosse $y = y(x) $ le cose si complicano, dai un'occhiata ad esempio alla tabella delle trasformate di Laplace qui: https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform
Tieni conto che:

$ \mathcal{L}[x y''(x)] = - s^2 Y'(s) - 2s Y(s) + y(0)$

$ \mathcal{L}[- 2x y'(x)] = 2s Y'(s) + 2 Y(s)$

Le altre trasformate di Laplace non dovrebbero crearti problemi.
Se non ho fatto male i conti si ha:

$ - s^2 Y'(s) - 2s Y(s) + y(0) + sY(s) - y(0) + 2s Y'(s) + 2 Y(s) - 2Y(s) = 0 $

$ - s^2 Y'(s) - s Y(s) + 2s Y'(s) = 0 $

$(2s - s^2)Y'(s) - sY(s) = 0 $

[fra_ann]

"pilloeffe":
Io fossi in te mi informerei prima dal docente o dal libro di testo casomai ci fosse il risultato. Personalmente tenderei all'interpretazione $y = y(t) $, ma se invece fosse $y = y(x) $ le cose si complicano, dai un'occhiata ad esempio alla tabella delle trasformate di Laplace qui: https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform
Tieni conto che:

$ \mathcal{L}[x y''(x)] = - s^2 Y'(s) - 2s Y(s) + y(0)$

$ \mathcal{L}[- 2x y'(x)] = 2s Y'(s) + 2 Y(s)$

Le altre trasformate di Laplace non dovrebbero crearti problemi.

Ok grazie mille

[dissonance]

"fraaa03":non sono riuscito a risolvere [...] Ho pensato di fregarmene della x, ed andando avanti come se nulla fosse[...]

Ah ah ah questa mi ha fatto ridere. Mi sembra chiaro che cosa è andato storto allora!

[pilloeffe]

"dissonance":Mi sembra chiaro che cosa è andato storto allora!

Hai ragione, probabilmente si sarebbe capito dal contesto, però dico io in questi casi perché non scrivere

$ {(xy''(x) + (1-2x)y'(x)-2y(x)=0), (y(0)=2), (y'(0)=4) :} $

per togliere qualsiasi dubbio di interpretazione? Costerebbe ben poco, qualche carattere in più...

Per concludere l'esercizio, l'equazione differenziale in $Y(s) $ è a variabili separabili e mi risulta:

$Y(s) = c/(2 - s) \implies y(x) = c e^{2x} \implies y'(x) = 2c e^{2x} $

Quindi da $y'(0) = 2y(0) = 4 $ segue $c = 2$, sicché la soluzione del PdC proposto è la seguente:

$y(x) = 2 e^{2x} \implies y'(x) = 4 e^{2x} \implies y''(x) = 8 e^{2x} $

Si può verificare la correttezza della soluzione ottenuta andandola a sostituire direttamente nell'equazione differenziale:

$ 8x e^{2x} + 4 e^{2x} - 8x e^{2x} - 4 e^{2x} = 0$

Vero. [tex]\Box[/tex]