Antitrasformata LaPlace

[ste88r1]

Buongiorno,

vi chiedo un aiuto in quanto sono in confusione piena.
La domanda è:
risolvendo una eq. diff sec ordine con la trasformata di Laplace mi trovo ad un certo punto a doverla "sistemare" in modo da calcolare le varie antitrasformata.
Io un po' ignorantemente applico sempre i fratti semplici. ma ho capito che si può usare anche il metodo dei residui.
Qualcuno può darmi supporto?

grazie
Stefano

[pilloeffe]

Ciao Stefano,

A parte che non credo che sia male il metodo della scomposizione in fratti semplici, potresti dare un'occhiata ad esempio qui. Se scrivi la trasformata che hai ottenuto possiamo aiutarti meglio a trovare l'antitrasformata...

[ste88r1]

grazie.
non ho esempio in quanto non so bene come muovermi.
L'esempio però nel link che mi ha suggerito è molto utile.
Non riesco a capire il perchè dopo aver splittato la funzione (Az+B ... C... D) perchè utilizza i residui e non va banalmente a calcolare il MCD e fare le varie moltiplicazioni per (Az+B ... C... D) ?

grazie

[pilloeffe]

"ste88r":non ho esempio in quanto non so bene come muovermi.

Scusa, come non hai esempio, nell'OP

"ste88r":risolvendo una eq. diff sec ordine con la trasformata di Laplace mi trovo ad un certo punto a doverla "sistemare" in modo da calcolare le varie antitrasformata.

Basta che scrivi l'equazione differenziale del secondo ordine che devi risolvere con le due condizioni iniziali: ci calcoliamo la trasformata di Laplace e poi la soluzione dell'equazione differenziale antitrasformando...
Una buona tabella delle trasformate di Laplace si può trovare ad esempio qui:
https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform

[ste88r1]

$ F(s)=(4s+2)/((s+1)*(s+3)*(s+5) $
ecco un esempio.

Temo che la confusione si crei sulla questione poli.

[pilloeffe]

Scomponendo in fratti semplici si può scrivere:

$ F(s) = (4s+2)/((s+1)(s+3)(s+5)) = A/(s + 1) + B/(s + 3) + C/(s + 5) $

$ A =\text{Res}[F(s), - 1] = \lim_{s \to - 1} (s + 1) (4s+2)/((s+1)(s+3)(s+5)) = \lim_{s \to - 1} (4s+2)/((s+3)(s+5)) = - 1/4 $

$ B =\text{Res}[F(s), - 3] = \lim_{s \to - 3}(s + 3) (4s+2)/((s+1)(s+3)(s+5)) = \lim_{s \to - 3} (4s+2)/((s+1)(s+5)) = (- 10)/(- 4) = 5/2 $

$ C =\text{Res}[F(s), - 5] = \lim_{s \to - 5}(s + 5) (4s+2)/((s+1)(s+3)(s+5)) = \lim_{s \to - 5} (4s+2)/((s+3)(s+1)) = - 9/4 $

[ste88r1]

Buongiorno, innanzitutto grazie per l'aiuto.

ecco il mio dubbio è proprio questo. perché qua hai usato i residui? non bastava fare:

((A(s+3)(S+5)+B(s+1)(S+5)+C(s+1)(S+3))/((s+1)(S+3)(s+5))=4s+2

[pilloeffe]

"ste88r": innanzitutto grazie per l'aiuto.

Prego.

"ste88r":ecco il mio dubbio è proprio questo. perché qua hai usato i residui? non bastava fare:

((A(s+3)(S+5)+B(s+1)(S+5)+C(s+1)(S+3))/((s+1)(S+3)(s+5))=4s+2

Sono due tecniche alternative, o usi i residui o il principio di identità dei polinomi, che però hai scritto male:

$ F(s) = (4s+2)/((s+1)(s+3)(s+5)) = A/(s + 1) + B/(s + 3) + C/(s + 5) = $
$ = (A(s+3)(s+5)+B(s+1)(s+5)+C(s+1)(s+3))/((s+1)(s+3)(s+5)) $

Quindi per il principio di identità dei polinomi deve essere

$ A(s+3)(s+5)+B(s+1)(s+5)+C(s+1)(s+3) = 4s + 2 $
$ A(s^2 + 8s + 15)+B(s^2 + 6s + 5)+C(s^2+ 4s + 3) = 4s + 2 $
$ (A + B + C)s^2 + (8A + 6B + 4C)s + 15A + 5B + 3C = 4s + 2 $

Da cui si ottiene il sistema seguente:

${(A + B + C = 0),(8A + 6B + 4C = 4),(15A + 5B + 3C = 2):} $

Risolto porge le stesse soluzioni già ottenute (più velocemente) col metodo dei residui:

$ A = - 1/4 $, $ B = 10/4 = 5/2 $, $C = - 9/4 $