Grafico modulare funzione zeta di Riemann $sum_(n=1)^\infty\1/n^s$

[zoldandavide58]

Sto cercando di capire il grafico modulare della funzione zeta di Riemann

$\zeta(s)=1/1^s+1/2^s+1/3^s+...$

ho iniziato con questa prima sostituzione

s=x+iy

$\zeta(s)=1/1^(x+iy)+1/2^(x+iy)+1/3^(x+iy)+...$

$\zeta(s)=1/(1^x*1^(iy))+1/(2^x*2^(iy))+1/(3^x*3^(iy))+...$

poi sono passato alla seconda sostituzione

$e^(iy)=cosy+isiny=1$

$1^(iy)=e^(iyln1)=1$
$2^(iy)=e^(iyln2)=1$
$3^(iy)=e^(iyln3)=1$

$\zeta(s)=1/1^x+1/2^x+1/3^x+...$

però c'è qualcosa che non mi torna con l'ultima sostituzione anche se mi sembra corretta,
come è possibile che diventi una banale funzione esponenziale senza la parte immaginaria
quando la funzione zeta di Riemann ha un grafico complesso?

[Quinzio]

Tu "butti via" la fase dei numeri complessi, e quindi diventano dei numeri reali e poi ti stupisci che diventi una banale funzione esponenziale.
Non puoi cancellare l'angolo di quei numeri complessi.
Se la funzione fosse cosi'
$ \zeta(s)=1/1^s 1/2^s 1/3^s ... $
allora potresti dire che
$ |\zeta(s)|=1/1^x 1/2^x 1/3^x ... $
ma non e' un prodotto, e' una somma.

[zoldandavide58]

Grazie per il chiarimento

però mi sfugge la parte del prodotto se facciamo la prova con i valori x=1 e y=1 non vedo
che la parte immaginaria diventi 1

$\zeta(s)=1/(1^s)*1/(2^s)*1/(3^s)*...$

$\zeta(s)=1/(1^(x+iy))*1/2^(x+iy)*1/3^(x+iy)*...$

$\zeta(s)=1/(1*1^i)*1/(2*2^i)*1/(3*3^i)*...$

$\zeta(s)=1/(1*1)*1/(2*(0,76+0,63i))*1/(3*(0,45+0,89i))*...$

[Quinzio]

"zoldandavide58":Grazie per il chiarimento

però mi sfugge la parte del prodotto se facciamo la prova con i valori x=1 e y=1 non vedo
che la parte immaginaria diventi 1

Tieni presente che io ho scritto $ |\zeta(s)|= ... $ cioe' il modulo della funzione

In parte la risposta l'hai gia' scritta tu:

$ |\zeta(s)|= 1/1^s 1/2^s 1/3^s ... = |\prod_{n=1}^{infty} 1/n^s| = \prod_{n=1}^{infty} |1/n^s| = \prod_{n=1}^{infty} |1/n^x| |1/n^{iy}|= \prod_{n=1}^{infty} |1/n^x| $
siccome
$|n^{iy}| = |(e^\ln n)^{iy}| = |e^(i (y \ln n))| =1 $

Qual e' il passaggio che non capisci ?

[pilloeffe]

Ciao zoldandavide58,

"zoldandavide58":poi sono passato alla seconda sostituzione

$e^{iy}=cosy+isiny=1 $

$1^{iy} = e^{iy ln 1} = 1 $
$2^{iy} = e^{iy ln 2} = 1 $
$3^{iy} = e^{iy ln 1} = 1 $

Non vorrei insistere, ma tutte queste uguaglianze sono in generale false, il modulo non può essere omesso:

$|e^{iy}|=|cosy+isiny|= \sqrt{cos^2 y + sin^2 y} = 1 $

$|1^{iy}| = |e^{iy ln 1}| = 1 $
$|2^{iy}| = |e^{iy ln 2}| = 1 $
$|3^{iy}| = |e^{iy ln 1}| = 1 $

[zoldandavide58]

Grazie per i chiarimenti

ho confuso le coordinate cartesiane con le coordinate polari dove
il modulo viene indicato con |z| o r e ha valore 1 nel cerchio trigonometrico complesso

$2^(iy)=e^(iyln2)=cosyln2+isinyln2$

$|2^(iy)|=|e^(iyln2)|=r=sqrt(x^2+y^2)=sqrt(cos^2y+sin^2y)=1$

[pilloeffe]

"zoldandavide58":Grazie per i chiarimenti

Prego.

"zoldandavide58":$ |2^(iy)|=|e^(iyln2)|=r=sqrt(x^2+y^2)=sqrt(cos^2y+sin^2y)=1 $

Vabbeh, ma non usare gli stessi simboli $x$ e $y$, se no ti autoconfondi...
Usa ad esempio $z = a + ib $:

$ |2^(iy)|=|e^(iyln2)|=r=\sqrt(a^2+b^2)=\sqrt{cos^2(y ln2)+sin^2(y ln2)} = 1 $

[zoldandavide58]

grazie mille