EDP del primo ordine a coefficienti costanti

[mdonatie]

Ciao a tutti,
stavo rivedendo delle esercitazioni fatte in classe in cui si proponeva di studiare il seguente problema di Cauchy:
\begin{equation*}\begin{cases}u_t-u_x=f(x) & (x,t)\in A=\mathbb{R} \times (0,+\infty)\\u(x,0)=0 & x\in \mathbb{R}\end{cases}\end{equation*}
dove
\begin{equation*}f(x)=\begin{cases}1 & x>0\\0 & x\leq 0\end{cases}\end{equation*}
Le soluzioni ricavate applicando il metodo delle caratteristiche sono:
\begin{equation*}u(x,t)=\begin{cases}0 &x< -t\\x+t&-t\leq x \leq 0\\
t & x>0\end{cases}\end{equation*}
Tra queste soluzioni non mi è molto chiara la soluzione $x+t$ per $-t\leq x \leq 0$.
Qualcuno saprebbe indicarmi il motivo per il quale la soluzione $u(x,t)=\int_0^t f(x+t-\tau,\tau)d\tau$ in $-t\leq x\leq 0$ sia uguale a $x+t$?

[Quinzio]

Supponiamo allora

\[ \begin{equation*}u(x,t)=\begin{cases}0 &x< 0\\ t & x>0\end{cases}\end{equation*} \]

Se cosi' fosse, nei punti dove $x = 0 $ avresti una discontinuita' tra la parte $x>0$ e la parte $x<0$ e quindi non sarebbe piu' rispettato il legame tra le derivate.

[feddy]

Altra cosa... perché alla fine del post scrivi $u(x,t)= \int_{0}^{t} \ldots$ ? Non capisco cosa c'entri questo col metodo delle caratteristiche