Norma di operatore in L^2 ([0,1]x[0,1])

[jacques_leen]

ciao a tutti... avrei bisogno di qualcuno che verificasse che il modo in cui ho risolto questo esercizio è corretto.

la richiesta è la seguente: Dato $ L^2(Q)$ con $Q = [0,1] \times [0,1]$ e l'operatore definito da
\[ Af(x,y) = (x+iy) f(x,y) \]
devo mostrare che $A$ è limitato, e calcolarne la norma.

per il primo punto ho fatto come segue:

$(\int_{Q} |(x+iy)f(x,y)|^2 dx dy )^{1/2} \leq (Sup_{Q} |x+iy| )^{1/2}\int_{Q} |f(x,y)|^2 dx dy )^{1/2} \leq \sqrt{2} ||f||_{2}$
che dimostra la limtatezza.

Per individuare la norma dell'operatore, è corretto prendere una funzione in $L^2(Q)$ e far vedere che per quella funzione $||Af(x,y)||$ è proprio uguale alla stima data dalla limitatezza? Se così fosse ho che $f(x,y) = 1$ è perfettamente rispondente ai requisiti e dimostra che $||A||_{2} = \sqrt{2}$

[gugo82]

Sì.

Ma hai saltato un’esponente $2$ nell’argomento del $text(sup)$.

[feddy]

Nota che per definizione di norma operatoriale, essa è la più piccola costante che realizza la limitatezza dell'operatore.

[jacques_leen]

"gugo82":
Ma hai saltato un’esponente $2$ nell’argomento del $text(sup)$.

errore di battitura grazie della segnalazione comunque

"feddy":Nota che per definizione di norma operatoriale, essa è la più piccola costante che realizza la limitatezza dell'operatore.

Di conseguenza se per una funzione ho che una certa costante $C$, la quale sicuramente verifica la limitatezza, mi consente anche di scrivere che $||Af|| = C$ quella costante (diviso la norma della funzione) è la norma dell'operatore.

Se l'inferenza è corretta per quanto mi riguarda si può anche chiudere il topic. Grazie mille