Polinomio di Hermite e Gaussiana

[VittoriaVic]

Ciao a tutti! Sono nuova nel forum

Potreste aiutarmi a capire che relazione intercorre tra queste due formule?

\( \int_a^b H_{n+1}(x)e^{-x^2/2} \text{d} x + H_{n}(b)e^{-b^2/2} - H_{n}(a)e^{-a^2/2}= 0 \)

\({\frac{1}{\sigma}}\ H_{n}(\frac{x-\mu}{\sigma})e^{-1/2(\frac{x-\mu}{\sigma})^2} + \frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[H_{n-1}(\frac{x-\mu}{\sigma})e^{-1/2(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}\right]= 0 \)

Grazie a chi mi risponderà

[gugo82]

“Ad occhio”, normalizzando, integrando e shiftando l’indice, dalla seconda ottieni la prima; e viceversa.

[VittoriaVic]

Grazie, 'ad occhio' sembrava anche a me così

[pilloeffe]

Ciao VittoriaVic,

Benvenuta sul forum!

La prima relazione si ricava dalle formule di ricorrenza per i polinomi di Hermite "probabilistici":

$H_{n + 1}(x) = x H_n(x) - n H_{n - 1}(x) $
$H'_n(x) = n H_{n - 1}(x) $

Quindi si ha:

$H'_n(x) - x H_n(x) = - H_{n + 1}(x) $

Moltiplicando per $e^{-x^2/2} $ si ha:

$H'_n(x) e^{-x^2/2} - x e^{-x^2/2} H_n(x) = - H_{n + 1}(x) e^{-x^2/2} $

$(\text{d})/(\text{d}x) [H_n(x) e^{-x^2/2}] = - H_{n + 1}(x) e^{-x^2/2} $

Integrando fra $a $ e $b$ si ha:

$ [H_n(x) e^{-x^2/2}]_a^b = - \int_a^b H_{n + 1}(x) e^{-x^2/2} \text{d}x $
$ H_n(b) e^{-b^2/2} - H_n(a) e^{-a^2/2} = - \int_a^b H_{n + 1}(x) e^{-x^2/2} \text{d}x $

Da quest'ultima in definitiva si ottiene proprio la prima relazione che hai scritto:

$ \int_a^b H_{n + 1}(x) e^{-x^2/2} \text{d}x + H_n(b) e^{-b^2/2} - H_n(a) e^{-a^2/2} = 0 $

Per la seconda farei uso della $(\text{d})/(\text{d}x) [H_n(x) e^{-x^2/2}] = - H_{n + 1}(x) e^{-x^2/2} $ riscritta con $n - 1 $ al posto di $n$:

$(\text{d})/(\text{d}x) [H_{n - 1}(x) e^{-x^2/2}] = - H_n(x) e^{-x^2/2} $

vale a dire

$H_n(x) e^{-x^2/2} + (\text{d})/(\text{d}x) [H_{n - 1}(x) e^{-x^2/2}] = 0$

Se ora si sostituisce $x $ con $(x - \mu)/\sigma $ ...