Integrale complesso trigonometrico - discussione
Ciao a tutti,
il prof propone il calcolo del seguente integrale:
\[ \int_0^{(pi)/2} (tan (a))^z [sin(2a)]^w da\] con $z$ e $w$ appartenenti all'insieme dei numeri complessi.
al di la della risoluzione, il prof fa una discussione sulla convergenza in prossimità degli estremi di integrazione.
In particolare, per $a\ -> 0^+$ si ha che $sin(2a) = 2a + O(a^3)$ e che $tan(a) = a + O(a^3)$ e quindi, per assicurare l esistenza dell integrale in prossimità dell estremo di integrazione inferiore l'integrando o deve essere finito o al più divergere più lentamente di $O(a^-1)$ da cui segue che $Re z + Re w > -1$.
1) Non ho capito perche va bene se diverge più lentamente di $O(a^-1)$,
2) Non ho capito da dove viene $Re z + Re w > -1$.
Mi dareste una mano a capire?
il prof propone il calcolo del seguente integrale:
\[ \int_0^{(pi)/2} (tan (a))^z [sin(2a)]^w da\] con $z$ e $w$ appartenenti all'insieme dei numeri complessi.
al di la della risoluzione, il prof fa una discussione sulla convergenza in prossimità degli estremi di integrazione.
In particolare, per $a\ -> 0^+$ si ha che $sin(2a) = 2a + O(a^3)$ e che $tan(a) = a + O(a^3)$ e quindi, per assicurare l esistenza dell integrale in prossimità dell estremo di integrazione inferiore l'integrando o deve essere finito o al più divergere più lentamente di $O(a^-1)$ da cui segue che $Re z + Re w > -1$.
1) Non ho capito perche va bene se diverge più lentamente di $O(a^-1)$,
2) Non ho capito da dove viene $Re z + Re w > -1$.
Mi dareste una mano a capire?
Risposte
Ciao qadesh,
Beh, è un integrale improprio notevole...
Se $b > 0 $ allora
$\int_0^b 1/a^u \text{d}a $
converge se $u < 1 $.
Nel caso in esame $b = \pi/2 $ e $u := - z - w \in \CC $ per cui visto che non ci interessano le parti immaginarie l'integrale proposto converge se $Re = Re[- z - w] < 1 \implies - Re[z] - Re[w] < 1 \implies Re[z] + Re[w] > - 1 $
Beh, è un integrale improprio notevole...
Se $b > 0 $ allora
$\int_0^b 1/a^u \text{d}a $
converge se $u < 1 $.
Nel caso in esame $b = \pi/2 $ e $u := - z - w \in \CC $ per cui visto che non ci interessano le parti immaginarie l'integrale proposto converge se $Re = Re[- z - w] < 1 \implies - Re[z] - Re[w] < 1 \implies Re[z] + Re[w] > - 1 $
[ot]Analisi I, questa sconosciuta… 
[/ot]
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Pilloeffe grazie mile ora ho capito cosa approfondire ma, perchè $u=z+w$?
mi spiego, se ho $a^x b^y$ questo non è uguale a $(ab)^(x+y)$
mi spiego, se ho $a^x b^y$ questo non è uguale a $(ab)^(x+y)$
"qadesh":
Pilloeffe grazie mille
Prego.
"qadesh":
[...] perché $u=z+w $?
No attenzione, $u = - z - w $ perché $z $ e $w $ nell'integrale proposto sono a numeratore, mentre nell'integrale improprio notevole che ti ho mostrato $u $ compare a denominatore, quindi perché coincidano deve essere $ u = - z - w $
si si la questione del denominatore mi era chiara...non ho capito perchè si fa la "somma algebrica"
Beh perché la base è sempre $a$, quindi considerando solo la funzione integranda ed omettendo gli infinitesimi di ordine superiore si ha:
$a^z (2a)^w = 2^w/(a^{-z}a^{-w}) = 2^w/(a^{- z - w}) $
$a^z (2a)^w = 2^w/(a^{-z}a^{-w}) = 2^w/(a^{- z - w}) $
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