[Sistemi Dinamici] Problema nel calcolo dell' uscita del sistema
Di seguito riporto un esercizio di prova d'esame della cui soluzione resa disponibile dallo stesso professore non capisco un passaggio.
dopo diversi punti precedenti si ottiene un sistema dinamico LTI (qualsiasi implicazione successiva sottintendo per sistemi LTI):
$ { ( dot(x) = ( ( 0 , 0 , 0 ),( 1 , -3/2 , 1/2 ),( 0 , 1/4 , -1/4 ) )x+((1),(0),(0))u ),( y=( (0,1,-1) ) x):} $
a questo sistema è applicato un ingresso
$ u(t) = 4sin(2t)delta_-1(-t) $
( si badi bene che il gradino è ribaltato rispetto all'asse delle ordinate per il (-t), quindi ho una sinusoide applicata prima dell'istante t=0 e poi ingresso nullo )
si vuole calcolare la risposta del sistema
$ y(t)= AAtinmathbb(R) $
Per trovare la y(t) analizzo separatamente i casi $ t<=0 $ e $ t>0 $
calcolo preventivamente gli autovalori e noto che $ lambda_1=0;lambda_2,lambda_3<0 $
dunque il sistema è evidentemente SEMPLICEMENTE STABILE
$ t<=0 $ )
posso considerare che l'istante di inizio osservazione sia $ t_0->-oo $: se il sistema è ASINTOTICAMENTE STABILE allora esso ammette una risposta di regime; tuttavia il sistema non è asintoticamente stabile quindi in questo caso a garantire l'esistenza della risposta del sistema è la asintotica stabilità della sola parte osservabile, condizione questa meno potente della prima ma ugualmente sufficiente.
Per mostrare che la parte osservabile del sistema sia A.S. calcolo la matrice di trasformazione in uscita nel dominio di laplace $ Psi(s) $ verificando che avvenga la cancellazione del polo $ lambda_1 $:
$ Psi(s)=(((1)/((s-lambda_2)(s-lambda_3)), (s)/((s-lambda_2)(s-lambda_3)) , -(s+1)/((s-lambda_2)(s-lambda_3)))) $
dimostrato ciò posso applicare il teorema fondamentale della risposta armonica con
$ W(s)=(1)/((s-lambda_2)(s-lambda_3)) $ , quindi
$ y_1(t)=0.7798sin(2t-2.3907) $
$ t>0 $ )
in questo caso, annullatosi l'ingresso, l'uscita del sistema corrisponde alla sua risposta in evoluzione libera: la matrice di trasferimento in uscita $ Psi(s) $ è sempre la stessa quindi mi basta la condizione iniziale del sistema $x(0)=x_0$ ( "iniziale" relativamente al nuovo intervallo temporale $(0,+oo)$ ) e antitrasformare per poter calcolare la seconda parte dell'uscita $y_2(t)$.
il mio problema sorge proprio nel calcolo della $x_0$. Nella soluzione il professore considera che "[...] Occorre quindi calcolare l’evoluzione dello stato per gli istanti di tempo negativi per conoscere così il valore della condizione iniziale dello stato dalla quale calcolare l’evoluzione libera delle uscite.Pertanto, si consideri la funzione di trasferimento delle risposte impulsive nello stato, che lega l’evoluzione dello stato con l’ingresso": in pratica calcola lo stato $ x(t) $ con il teorema fondamentale della risposta armonica attraverso la matrice delle risposte impulsive nello stato $ H(s) $ e poi calcola la condizione iniziale particolarizzando in 0; tuttavia non capisco perchè considera $ x(t) = x_(regime)(t) $ perchè si può considerare nullo il transitorio?
il ragionamento che faccio io è che, per sistemi LTI e $ t_0->-oo $ si ha:
$ x_(regime)(t)=lim_(t_0->-oo)x(t)=lim_(t_0->-oo)(x_l(t)+x_(f)(t))=lim_(t_0->-oo)e^(A(t-t_0))x_0+lim_(t_0->-oo)x_f(t) $
ma essendo il sistema NON A.S. ( per l'autovalore $lambda_1=0$ ) ho che il termine
$ lim_(t_0->-oo)e^(A(t-t_0))x(t_0) $
non so se si annulla: in $ e^(A(t-t_0)) $ compare il modo costante associato all' autovalore nullo, nel caso partiolare di questo esercizio esso compare solo negli elementi della prima colonna quindi potenzialmente se avessi $ x(t_0) = ((0),(alpha),(beta)) $ tutto il termine convergerebbe a 0, ma effettivamente non so quanto possa valere $ x(-oo) $, è come se per il calcolo della $ x(t) $ il prof avesse considerato nulla la condizione iniziale del sistema a meno infinito
dopo diversi punti precedenti si ottiene un sistema dinamico LTI (qualsiasi implicazione successiva sottintendo per sistemi LTI):
$ { ( dot(x) = ( ( 0 , 0 , 0 ),( 1 , -3/2 , 1/2 ),( 0 , 1/4 , -1/4 ) )x+((1),(0),(0))u ),( y=( (0,1,-1) ) x):} $
a questo sistema è applicato un ingresso
$ u(t) = 4sin(2t)delta_-1(-t) $
( si badi bene che il gradino è ribaltato rispetto all'asse delle ordinate per il (-t), quindi ho una sinusoide applicata prima dell'istante t=0 e poi ingresso nullo )
si vuole calcolare la risposta del sistema
$ y(t)= AAtinmathbb(R) $
Per trovare la y(t) analizzo separatamente i casi $ t<=0 $ e $ t>0 $
calcolo preventivamente gli autovalori e noto che $ lambda_1=0;lambda_2,lambda_3<0 $
dunque il sistema è evidentemente SEMPLICEMENTE STABILE
$ t<=0 $ )
posso considerare che l'istante di inizio osservazione sia $ t_0->-oo $: se il sistema è ASINTOTICAMENTE STABILE allora esso ammette una risposta di regime; tuttavia il sistema non è asintoticamente stabile quindi in questo caso a garantire l'esistenza della risposta del sistema è la asintotica stabilità della sola parte osservabile, condizione questa meno potente della prima ma ugualmente sufficiente.
Per mostrare che la parte osservabile del sistema sia A.S. calcolo la matrice di trasformazione in uscita nel dominio di laplace $ Psi(s) $ verificando che avvenga la cancellazione del polo $ lambda_1 $:
$ Psi(s)=(((1)/((s-lambda_2)(s-lambda_3)), (s)/((s-lambda_2)(s-lambda_3)) , -(s+1)/((s-lambda_2)(s-lambda_3)))) $
dimostrato ciò posso applicare il teorema fondamentale della risposta armonica con
$ W(s)=(1)/((s-lambda_2)(s-lambda_3)) $ , quindi
$ y_1(t)=0.7798sin(2t-2.3907) $
$ t>0 $ )
in questo caso, annullatosi l'ingresso, l'uscita del sistema corrisponde alla sua risposta in evoluzione libera: la matrice di trasferimento in uscita $ Psi(s) $ è sempre la stessa quindi mi basta la condizione iniziale del sistema $x(0)=x_0$ ( "iniziale" relativamente al nuovo intervallo temporale $(0,+oo)$ ) e antitrasformare per poter calcolare la seconda parte dell'uscita $y_2(t)$.
il mio problema sorge proprio nel calcolo della $x_0$. Nella soluzione il professore considera che "[...] Occorre quindi calcolare l’evoluzione dello stato per gli istanti di tempo negativi per conoscere così il valore della condizione iniziale dello stato dalla quale calcolare l’evoluzione libera delle uscite.Pertanto, si consideri la funzione di trasferimento delle risposte impulsive nello stato, che lega l’evoluzione dello stato con l’ingresso": in pratica calcola lo stato $ x(t) $ con il teorema fondamentale della risposta armonica attraverso la matrice delle risposte impulsive nello stato $ H(s) $ e poi calcola la condizione iniziale particolarizzando in 0; tuttavia non capisco perchè considera $ x(t) = x_(regime)(t) $ perchè si può considerare nullo il transitorio?
il ragionamento che faccio io è che, per sistemi LTI e $ t_0->-oo $ si ha:
$ x_(regime)(t)=lim_(t_0->-oo)x(t)=lim_(t_0->-oo)(x_l(t)+x_(f)(t))=lim_(t_0->-oo)e^(A(t-t_0))x_0+lim_(t_0->-oo)x_f(t) $
ma essendo il sistema NON A.S. ( per l'autovalore $lambda_1=0$ ) ho che il termine
$ lim_(t_0->-oo)e^(A(t-t_0))x(t_0) $
non so se si annulla: in $ e^(A(t-t_0)) $ compare il modo costante associato all' autovalore nullo, nel caso partiolare di questo esercizio esso compare solo negli elementi della prima colonna quindi potenzialmente se avessi $ x(t_0) = ((0),(alpha),(beta)) $ tutto il termine convergerebbe a 0, ma effettivamente non so quanto possa valere $ x(-oo) $, è come se per il calcolo della $ x(t) $ il prof avesse considerato nulla la condizione iniziale del sistema a meno infinito
Risposte
Ok.
Pero' l'esercizio chiede di calcolare l'uscita, e la variabile interna al sistema $x_1$ non ha influenza sull'uscita.
Hai ragione a dire che non sappiamo il valore di $x_1$ a $t = 0$, ma in ogni caso, non ne abbiamo bisogno.
Forse il prof. doveva essere piu' dettagliato, ma ha sorvolato.
Pero' l'esercizio chiede di calcolare l'uscita, e la variabile interna al sistema $x_1$ non ha influenza sull'uscita.
Hai ragione a dire che non sappiamo il valore di $x_1$ a $t = 0$, ma in ogni caso, non ne abbiamo bisogno.
Forse il prof. doveva essere piu' dettagliato, ma ha sorvolato.
scusami ma puoi essere pù chiaro?
perchè a me risulta che la parte di uscita che devo calcolare sia:
$ y(t)=Psi(s).x(0)=((Psi_1, Psi_2, Psi_3))*((x_1(0)),(x_2(0)),(x_3(0))) $
con
$ Psi_1(s)!=0 $ e in genere $ x_1(0)!=0 $
quindi la variabile $ x_1 $ una certa influenza ce l'ha!
perchè a me risulta che la parte di uscita che devo calcolare sia:
$ y(t)=Psi(s).x(0)=((Psi_1, Psi_2, Psi_3))*((x_1(0)),(x_2(0)),(x_3(0))) $
con
$ Psi_1(s)!=0 $ e in genere $ x_1(0)!=0 $
quindi la variabile $ x_1 $ una certa influenza ce l'ha!
Si, in effetti e' come dici tu.
Non si puo' sapere esattamente come sono gli stati a $t = 0$, a meno che non si definisca meglio questo segnale che inizia a "meno infinito".
Dal punto di vista fisico poi, non ha nessun senso.
Non si puo' sapere esattamente come sono gli stati a $t = 0$, a meno che non si definisca meglio questo segnale che inizia a "meno infinito".
Dal punto di vista fisico poi, non ha nessun senso.
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