Estensione dominio trasformata di laplace
salve ragazzi,
nel corso di Fondamenti di Sistemi Dinamici il prof ha ripreso la definizione della Trasformata di Laplace ( unilatera ) propedeutica alla definizione di funzione di trasferimento. Nel definirla il prof ci ha giustamente ricordato che il dominio della funzione trasformata di laplace è una semipiano destro del piano di gauss ovvero l'insieme di tutti gli elementi complessi che hanno parte reale maggiore di una certa ascissa di convergenza, e fino a qui tutto ok. In secondo luogo ha poi affermato che una proprietà della trasformata di laplace è l'analiticità, e anche fino a qui ok; proprio in quanto analitica il dominio della trasformata di laplace è estendibile a tutto il piano complesso eccetto che nelle singolarità isolate: come si può dimostrare questo riusltato, ovvero che il dominio di una funzione analitica che abbia singolarità isolate sia estendibile a tutto il piano complesso esclusi i punti di singolarità?
nel corso di Fondamenti di Sistemi Dinamici il prof ha ripreso la definizione della Trasformata di Laplace ( unilatera ) propedeutica alla definizione di funzione di trasferimento. Nel definirla il prof ci ha giustamente ricordato che il dominio della funzione trasformata di laplace è una semipiano destro del piano di gauss ovvero l'insieme di tutti gli elementi complessi che hanno parte reale maggiore di una certa ascissa di convergenza, e fino a qui tutto ok. In secondo luogo ha poi affermato che una proprietà della trasformata di laplace è l'analiticità, e anche fino a qui ok; proprio in quanto analitica il dominio della trasformata di laplace è estendibile a tutto il piano complesso eccetto che nelle singolarità isolate: come si può dimostrare questo riusltato, ovvero che il dominio di una funzione analitica che abbia singolarità isolate sia estendibile a tutto il piano complesso esclusi i punti di singolarità?
Risposte
Questa è una tautologia. Se dici "\(f\) è una funzione analitica con singolarità isolate" stai dicendo esattamente che il dominio di \(f\) è tutto il piano complesso, escluso un insieme discreto di punti (detti "punti di singolarità").
"dissonance":
Questa è una tautologia. Se dici "\(f\) è una funzione analitica con singolarità isolate" stai dicendo esattamente che il dominio di \(f\) è tutto il piano complesso, escluso un insieme discreto di punti (detti "punti di singolarità").
allora riformulo la domanda:
se una funzione è olomorfa in un aperto connesso del piano complesso diverso dal piano stesso che non comprende alcuna singolarità isolata, si può estendere il dominio di tale funzione a tutto il piano complesso esclusi eventuali singolarità isolate che si possono incotrare al di fuori dell' aperto connesso di partenza?
mi rendo conto che un punto complesso è una singolarità isolata se una funzione è definita in un cerchio centrato nel punto escluso il punto stesso, quindi per dire che al di fuori dell' apero connesso di partenza vi siano delle singolarità isolate devo supporre che la funzione sia definita anche al di fuori, ma è ciò che voglio dimostrare, qui vado in confusione.
però in realtà mi è più prioritario sapere come estendendere il dominio della trasformata di laplace unilatera: la sua regione di convergenza è l'insieme di tutti gli elementi complessi che hanno parte reale maggiore strettamente dell' ascissa di convergenza la quale è pari alla parte reale massima dei suoi poli. Come posso dimostrare, sfruttando l' analiticità della trasformata di laplace, che il dominio può essere esteso anche a sinistra dell' ascissa di convergenza eccetto che nei poli?
in particolare come posso definire una funzione che sia definita in tutto C eccetto i poli e coincida con la trasformata di laplace nella regione di convergenza?
una considerazione che faccio è che in questo corso trattiamo un certo insieme di segnali le cui trasformate assumono sempre la forma di razionali fratte, ma una razionale fratta è definita in C meno i suoi poli quindi posso estendere per il teorema del prolungamento analitico. Vorrei sapere come si può generalizzare il risultato anche alle trasformate unilatere che non abbiano la forma di razionale fratta
"lukixx":
[quote="dissonance"]Questa è una tautologia. Se dici "\(f\) è una funzione analitica con singolarità isolate" stai dicendo esattamente che il dominio di \(f\) è tutto il piano complesso, escluso un insieme discreto di punti (detti "punti di singolarità").
allora riformulo la domanda:
se una funzione è olomorfa in un aperto connesso del piano complesso diverso dal piano stesso che non comprende alcuna singolarità isolata, si può estendere il dominio di tale funzione a tutto il piano complesso esclusi eventuali singolarità isolate che si possono incotrare al di fuori dell' aperto connesso di partenza?[/quote]
In generale no, non si può fare.
Esempio: la somma della serie di potenze $sum_(n=0)^oo z^(n!)$ è una funzione analitica nel disco aperto $D=D(0;1)$ di centro $0$ e raggio $1$, però non si può prolungare fuori da tale cerchio perché i suoi punti singolari formano un insieme denso su $partial D$.
"gugo82":
In generale no, non si può fare.
Esempio: la somma della serie di potenze $sum_(n=0)^oo z^(n!)$ è una funzione analitica nel disco aperto $D=D(0;1)$ di centro $0$ e raggio $1$, però non si può prolungare fuori da tale cerchio perché i suoi punti singolari formano un insieme denso su $partial D$.
1) se io ho per esempio una funzione del tempo
$ w(t)=(e^(-t)-e^(-2t))delta_(-1)(t) $
la sua trasformata risulta
$ W(s)=1/((s+1)(s+2)) $ con $ D_(W(s))={s in mathbb(C) : Re(s)> -1} $
la quale è evidentemente razionale fratta. In questo particolare caso è lecito prolungare la funzione $ W(s) $ in $ mathbb(C)-{-1, -2} $ ?
2) se sì, aggiungendo al fatto che la trasformata di laplace sia una funzione olomorfa l'ipotesi che essa assume sempre forma di razionale fratta, posso affermare che in questo caso è sempre estendibile a quasi tutto C?
3) non riesco a vedere l' analiticità della funzione da te proposta a causa del fattoriale, ma vado a fiducia. tuttavia faccio un' osservazione: se è dimostrato che il dominio della trasformata unilatera è sempre un semipiano destro e il dominio della funzione da te proposta è il cerchio unitario privato della sua frontiera, questa funzione non potrà essere l'espressione di una trasformata, giusto? ( si potrebe anche ragionare sull' antitrasformata e sul fatto che non si può percorrere per intero asse parallelo a quello immaginario ).
4) da quanto osservato mi viene da chiedere: esistono trasformate di laplace tali che esistano funzioni analitiche che siano uguali alle trasformate nella regione di convergenza e che abbiano un insime denso di singolarità all' esterno di tale regione e che quindi hanno dominio non estendibile? oppure avere come dominio un semipiano mi garantisce che le singolarità siano solo isolate e dunque il dominio è estendibile?
"lukixx":
[quote="gugo82"]
In generale no, non si può fare.
Esempio: la somma della serie di potenze $sum_(n=0)^oo z^(n!)$ è una funzione analitica nel disco aperto $D=D(0;1)$ di centro $0$ e raggio $1$, però non si può prolungare fuori da tale cerchio perché i suoi punti singolari formano un insieme denso su $partial D$.
1) se io ho per esempio una funzione del tempo
$ w(t)=(e^(-t)-e^(-2t))delta_(-1)(t) $ [/quote]
Beh, questa non è una funzione… Ad ogni modo:
"lukixx":
[…] la sua trasformata risulta
$ W(s)=1/((s+1)(s+2)) $ con $ D_(W(s))={s in mathbb(C) : Re(s)> -1} $
la quale è evidentemente razionale fratta. In questo particolare caso è lecito prolungare la funzione $ W(s) $ in $ mathbb(C)-{-1, -2} $ ?
Ovvio.
Però il prolungamento non è più una trasformata. Perché?
"lukixx":
2) se sì, aggiungendo al fatto che la trasformata di laplace sia una funzione olomorfa l'ipotesi che essa assume sempre forma di razionale fratta, posso affermare che in questo caso è sempre estendibile a quasi tutto C?
Una funzione definita su una striscia ed ivi coincidente con una funzione razionale è ovvio che si possa prolungare con olomorfia a tutto $CC$ privato (al più) degli zeri del denominatore.
"lukixx":
3) non riesco a vedere l' analiticità della funzione da te proposta a causa del fattoriale, ma vado a fiducia.
Perché, la presenza del fattoriale cessa di renderla una serie di potenze?
Direi di no.
Pensaci.
"lukixx":
[…] tuttavia faccio un' osservazione: se è dimostrato che il dominio della trasformata unilatera è sempre un semipiano destro e il dominio della funzione da te proposta è il cerchio unitario privato della sua frontiera, questa funzione non potrà essere l'espressione di una trasformata, giusto? ( si potrebe anche ragionare sull' antitrasformata e sul fatto che non si può percorrere per intero asse parallelo a quello immaginario ).
E grazie che non lo è.
La regione di convergenza di un integrale di Laplace è sempre un semipiano…
"lukixx":
4) da quanto osservato mi viene da chiedere: esistono trasformate di laplace tali che esistano funzioni analitiche che siano uguali alle trasformate nella regione di convergenza e che abbiano un insime denso di singolarità all' esterno di tale regione e che quindi hanno dominio non estendibile? oppure avere come dominio un semipiano mi garantisce che le singolarità siano solo isolate e dunque il dominio è estendibile?
Il problema è che ti ostini a fare confusione tra la trasformata ed il suo prolungamento.
L’integrale di Laplace che definisce la trasformata di $e^(alpha t)$ (con $alpha in CC$ o $RR$ se preferisci) è convergente in $text(Re)(s) > text(Re)(alpha)$ e tutti i punti della retta $text(Re)(s) = text(Re)(alpha)$ sono singolari per l’integrale; dunque la T.d.L di $e^(alpha t)$, che è $1/(s - alpha)$, ha dominio $\{ text(Re)(s) > text(Re)(alpha)\}$.
Fortuna vuole che le T.d.L. di molte funzioni/distribuzioni interessanti si possono esprimere come funzioni razionali (o quasi) e dunque che esse si possano prolungare facilmente fuori dalla regione di convergenza originaria… Ma questi prolungamenti non sono più (a rigore) delle trasformate.
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