Dubbio Misura di Lebesgue
Salve,
Nel corso di analisi 3 che sto seguendo abbiamo introdotto la misura di Lebesgue.
Riassumo i punti fondamentali della costruzione che abbiamo fatto:
Ci mettiamo in $RR^n$.
1.Definisco rettangolo un prodotto di intervalli $R=I_1\times...\times I_n$ (intervalli aperti o chiusi è indifferente).
2.Definisco $\mathcal{L}^n(R)$ nella maniera naturale (prodotto delle ampiezze degli intervalli).
3.Definisco plurirettanglo qualsiasi unione finita disgiunta di rettangoli $R'=R_1uu...uuR_n$.
4.Definisco la misura di un plurirettangolo come la somma dei rettangoli che lo compongono
$\mathcal{L}^n(R')=\mathcal{L}^n(R_1)+...+\mathcal{L}^n(R_n)$
5.Definisco la misura di un aperto $\mathcal{L}^n(A):=text{sup} {\mathcal{L}^n(R'): R'\subsetA \ \ \ \ R' text{plurirettangolo}}$
6.Verifico che questa definizione è coerente con ciò che già sappiamo
(ovvero verifico che $\mathcal{L}^n(R)$ fa ciò che deve anche visto come $text{sup}{...}$)
7.Definisco $E$ misurabile alla Lebesgue se:
$AA \epsilon>0 \ \ EE P_\epsilon \ \ text{aperto e} \ \ Q_\epsilon \ \ text{chiuso tali che} \ \ Q_\epsilon \subset E \subset P_\epsilon \ \ text{e}\ \ \mathcal{L}^n(P_\epsilon-Q_\epsilon)<\epsilon$.
8.Verifico che i misurabili danno una sigma-algebra.
9.Definisco la misura di Lebesgue sui misurabili $\mathcal{L}^n(E)=text{inf}{\mathcal{L}^n(A): A\sup E, A \ \ text{aperto}}$
Ora la mia domanda è:
Con questa costruzione, come faccio a dire che $QQ$ è misurabile?
Come faccio a dire che ha misura nulla?
Nel corso di analisi 3 che sto seguendo abbiamo introdotto la misura di Lebesgue.
Riassumo i punti fondamentali della costruzione che abbiamo fatto:
Ci mettiamo in $RR^n$.
1.Definisco rettangolo un prodotto di intervalli $R=I_1\times...\times I_n$ (intervalli aperti o chiusi è indifferente).
2.Definisco $\mathcal{L}^n(R)$ nella maniera naturale (prodotto delle ampiezze degli intervalli).
3.Definisco plurirettanglo qualsiasi unione finita disgiunta di rettangoli $R'=R_1uu...uuR_n$.
4.Definisco la misura di un plurirettangolo come la somma dei rettangoli che lo compongono
$\mathcal{L}^n(R')=\mathcal{L}^n(R_1)+...+\mathcal{L}^n(R_n)$
5.Definisco la misura di un aperto $\mathcal{L}^n(A):=text{sup} {\mathcal{L}^n(R'): R'\subsetA \ \ \ \ R' text{plurirettangolo}}$
6.Verifico che questa definizione è coerente con ciò che già sappiamo
(ovvero verifico che $\mathcal{L}^n(R)$ fa ciò che deve anche visto come $text{sup}{...}$)
7.Definisco $E$ misurabile alla Lebesgue se:
$AA \epsilon>0 \ \ EE P_\epsilon \ \ text{aperto e} \ \ Q_\epsilon \ \ text{chiuso tali che} \ \ Q_\epsilon \subset E \subset P_\epsilon \ \ text{e}\ \ \mathcal{L}^n(P_\epsilon-Q_\epsilon)<\epsilon$.
8.Verifico che i misurabili danno una sigma-algebra.
9.Definisco la misura di Lebesgue sui misurabili $\mathcal{L}^n(E)=text{inf}{\mathcal{L}^n(A): A\sup E, A \ \ text{aperto}}$
Ora la mia domanda è:
Con questa costruzione, come faccio a dire che $QQ$ è misurabile?
Come faccio a dire che ha misura nulla?
Risposte
Devi almeno arrivare a dimostrare qualche altra proprietà. Per esempio l'argomento classico per vedere che $\mathbb Q$ ha misura è osservare che è numerabile e che ogni singoletto ha misura nulla (quest'ultimo con la definizione è facile, prova con le palle).
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