Spazio di funzioni continue in intervallo chiuso come spazio di Banach

[impe1]

Buongiorno,

sto studiando gli spazi di Banach e mi trovo un po' in difficoltà. Vi illustro i miei dubbi.

______________________________________

Si consideri lo spazio di tutte le funzioni continue $f(t)$ in un intervallo chiuso $[a,b]$.
Chiamiamo questo spazio $C([a,b])$.

Definisco in tale spazio la norma $||*||_(C^0)$ così definita:

$||f||_(C^0) = max_(t in [a,b]) |f(t)|$

Tale applicazione è una norma in quanto soddisfa le proprietà di non negatività, di positiva omogeneità e la disuguaglianza triangolare.

Quello che non comprendo:

Dalle slide del mio professore...
Per dimostrare che lo spazio $C([a,b])$ dotato della norma $||*||_(C^0)$ è uno spazio di Banach, leggo la seguente equazione:

$||f_n-f||_(C^0) = max_(t in [a,b]) |f_n(t)-f(t)|=0$

Non riesco a comprendere:

1) chi è $f_n(t)$, come è definita, ed in che modo è legata a $f(t)$

2) perché tale uguaglianza implica che lo spazio sopra citato è uno spazio di Banach

3) come faccio a dire che tale uguaglianza è vera

________________________________________

Grazie a tutti in anticipo!

[dissonance]

Ti stai ponendo le domande sbagliate. Si vede che non hai chiara la definizione di spazio di Banach. Lascia stare le slide, leggiti questo esempio su un buon libro, invece. Lo puoi trovare su qualsiasi libro di analisi funzionale.

Le slide servono per vedere la lezione, ma una volta tornati a casa, o una volta finita la videoconferenza, si studia sul libro.

[impe1]

Il libro l'ho comprato ma arriverà settimana prossima purtroppo.

Uno spazio di Banach è uno spazio normato in cui ogni successione di Cauchy è convergente.

Con $f_n $ si intende una qualsiasi successione di Cauchy?

[dissonance]

Hai fatto molto bene a comprare il libro. Su un libro, ci sarebbe scritto cosa è \(f_n\). Invece così dobbiamo tirare a indovinare cosa voleva dire il professore. Immagino di si, che \(f_n\) denota una generica successione di Cauchy, ma non si capisce cosa sia \(f\). Infine, penso ci siano errori, uno di quei simboli di uguale dovrebbe essere in realtà un limite.

Se cerchi online, potresti trovare una copia del libro in pdf, mentre aspetti che arrivi il cartaceo. Io te lo consiglio.

[impe1]

Trascuriamo il significato della notazione (magari per $f_n$ si intende implicitamente il limite a più infinito della successione di Cauchy considerata, ma lasciamo stare il significato).

Io quello che non capisco è proprio il senso dell'intero passaggio.
Ora spiego perché.

...Dimostrare che uno spazio NON E' di Banach è relativamente semplice.
Basta trovare una successione che (utilizzando la norma dello spazio) risulta essere di Cauchy e che, al contempo, non converge (nello spazio) per $n$ che va a più infinito.
Avendo trovato UNA successione di Cauchy non convergente, posso dire con certezza che tale spazio non è di Banach.

Per dimostrare che uno spazio E' di Banach invece non saprei come fare, e non capisco proprio il senso dell'intero passaggio del professore.
Come fai a dire che TUTTE le successione di Cauchy sono anche convergenti nello spazio considerato (ovvero lo spazio delle funzioni continue in un determinato intervallo)?

[Mephlip]

Consideri una successione di Cauchy arbitraria in tale spazio e fai vedere che converge, visto che era arbitraria ciò vale per ogni successione di Cauchy; ma è un concetto che sta alla base di qualsiasi dimostrazione astratta, non l'hai mai visto prima? Perché la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado vale per qualsiasi equazione di secondo grado? Perché, quando la dimostri, consideri un'arbitraria equazione di secondo grado, la dimostri per quella e quindi, per l'arbitrarietà dell'equazione di secondo grado per cui l'hai dimostrata, l'hai dimostrata per tutte le equazioni di secondo grado.

Non so se ho colto il tuo dubbio, mi sembrava che fosse questo dal tuo ultimo messaggio.

[impe1]

Okay, questo in un caso generale è scontato...

Ma questo in che modo si traduce nel caso da me presentato?
Come fa a dire che quell'uguaglianza è uguale a zero per una GENERICA successione di Cauchy?
L'ha scritto lui! Ma mica me lo dice nessuno che il massimo della differenza tra una qualsiasi successione di Cauchy ed una funzione continua è uguale a zero!

[Martino]

"impe":Okay, questo in un caso generale è scontato...

Ma questo in che modo si traduce nel caso da me presentato?
Come fa a dire che quell'uguaglianza è uguale a zero per una GENERICA successione di Cauchy?
L'ha scritto lui! Ma mica me lo dice nessuno che il massimo della differenza tra una qualsiasi successione di Cauchy ed una funzione continua è uguale a zero!

Ciao, un suggerimento spassionato: non basarti su delle slide per queste cose, fai ricerche serie. Per esempio leggi questo (tutto, non solo l'inizio, in particolare leggi la risposta di David Mitra). Ma ovviamente resta il consiglio di dissonance: aspetta di ricevere il libro.

[impe1]

grazie Martino!

[gabriella127]

"impe":
Leggo la seguente equazione:

$||f_n-f||_(C^0) = max_(t in [a,b]) |f_n(t)-f(t)|=0$

Come detto da dissonance, ci deve essere un errore di stampa, ci deve stare un limite.
Penso che l'ultimo $=$ sia in realtà una freccia $rightarrow$, che dice che la distanza tra $f_n$ e $f$ tende a $0$ (qualunque cosa esse siano).

[3m0o]

"impe":
Quello che non comprendo:

Dalle slide del mio professore...
Per dimostrare che lo spazio $C([a,b])$ dotato della norma $||*||_(C^0)$ è uno spazio di Banach, leggo la seguente equazione:

$||f_n-f||_(C^0) = max_(t in [a,b]) |f_n(t)-f(t)|=0$

Non riesco a comprendere:

1) chi è $f_n(t)$, come è definita, ed in che modo è legata a $f(t)$

2) perché tale uguaglianza implica che lo spazio sopra citato è uno spazio di Banach

3) come faccio a dire che tale uguaglianza è vera

1) Immagino che \(f_n \) sia un successione di Cauchy, e vuoi dimostrare che esiste \(f\) con quella proprietà con il typo finale in cui c'è una freccia e non un uguale. Edit: tu hai una successione di Cauchy \( \{ f_n\}_n \) arbitraria ma fissata. Vuoi dimostrare l'esistenza della \(f\) (non arbitraria) con tale proprietà, non è che quella cosa devi avercela per un arbitraria successione di Cauchy e per un'arbitraria funzione continua (come mi sembra tu dica nel commento che cito subito sotto), anche perché il limite è unico in quanto è uno spazio di Hausdorff con la topologia indotta.
2) Perché avresti che è uno spazio normato completo, ergo di Banach
3) Dimostrandola.

"impe":
Come fa a dire che quell'uguaglianza è uguale a zero per una GENERICA successione di Cauchy?
L'ha scritto lui! Ma mica me lo dice nessuno che il massimo della differenza tra una qualsiasi successione di Cauchy ed una funzione continua è uguale a zero!

Il prof ti ha detto, per dimostrare che il tuo spazio è di Banach basta dimostrare questo:
data una successione di Cauchy \(f_n \) se trovi \(f\) nello spazio tale che
\[ \left \| f_n - f \right \|_{\infty} \to 0 \]
allora hai dimostrato che è di Banach. Ma non ti ha detto che quella cosa è vera.

Per dimostrare questa cosa, potrebbe esserti utile quanto segue:

Dato uno spazio metrico \( (X,d) \). Un'applicazione \(f: X \to \mathbb{R} \) è detta limitata se \( f(X) \) è un sottoinsieme limitato di \( \mathbb{R} \). Denotiamo \( \mathcal{B}(X,\mathbb{R} ) \) l'insieme delle applicazioni limitate \( f: X \to \mathbb{R} \) e definiamo \( \rho(f,g) = \sup \{ \left| f(x) -g(x) \right| : x \in X \} \) per \(f,g \in \mathcal{B}(X,\mathbb{R} ) \).

i) Dimostra che \( (\mathcal{B}(X,\mathbb{R} ), \rho ) \) è uno spazio metrico
ii) Sia una successione di Cauchy \( \{f_n\}_n \) in \( \mathcal{B}(X,\mathbb{R} ) \). Dimostra che esiste una funzione \( f: X \to \mathbb{R} \) tale che \( \forall x \in X \)
\[ \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x) \]
Dimostra in seguito che
\[ \lim_{n \to \infty} \sup \{ \left| f_n(x) - f(x) \right| : x \in X \} = 0 \]
e deduci che \(f \) è limitata e che \( f_n \to f \) in \( \mathcal{B}(X,\mathbb{R} ) \).
iii) Prendi poi \( X = [a,b] \) munito della distanza \( d(x,y) = \left| x-y \right| \), hai che \(\left \| f - g \right \|_{\infty} = \rho(f,g) \) quando \( f,g \in C[a,b] \subset \mathcal{B}(X,\mathbb{R} ) \). Prendi un arbitraria successione di Cauchy in \( (C[a,b] , \left \| \cdot \right \|_{\infty} ) \), lo è anche vista in \( (\mathcal{B}(X,\mathbb{R} ), \rho) \). Utilizza i punti precedenti per dire che esiste una \(f \in \mathcal{B}(X,\mathbb{R} ) \) tale che \( \lim_{n \to \infty} \rho(f_n,f) = 0 \). ATTENZIONE \(f \) non è continua a priori! Concludi dimostrando che \(f\) è continua (il limite è uniforme)

[gabriella127]

Scusa 3m0o, non ho da obiettare alla tua dimostrazione, ma perché fare il 'giro lungo' per $B(X,mathbb(R))$?
Si può fare una dimostrazione più semplice (che può evitare suicidi di studenti agli inizi in materia), che fa uso solo della completezza di $mathbb(R)$ e della convergenza uniforme di successioni di funzioni.

Sia $(f_n)$ una successione di Cauchy in $C[a,b]$. Sia $epsilon >0$. Allora $EE N in mathbb(N)$ tale che :

$m,n>=NRightarrow max_(tin [a,b] )|f_m(t) -f_n(t)|.

Quindi $(f_n(t))$ è una successione di Cauchy per ogni $t$ fissato, e quindi (per la completezza di $mathbb(R)$) converge a qualche $f(t)in mathbb(R)$.

Ora, facendo tendere $m rightarrow oo$ in

$max_(tin [a,b] )|f_m(t) -f_n(t)|
abbiamo

$max_(tin [a,b] )|f_n(t) -f(t)|.

Ciò implica che la successione $f_n$ di funzioni continue converge uniformemente a $f$. Quindi, $f$ è continua e quindi appartiene a $C[a,b]$.
$ \square$

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3m0o

14 mag 2021, 15:37

Sono con il cellulare, quindi ho letto di fretta e non mi mettero a scrivere in LaTeX, ad ogni modo mi sembra esattamente la stessa cosa che ho detto io. Quando tu passi dalla completezza di \(\mathbb{R}\) per dire che esiste \(f(t)\) per ogni \(t\) in realtà hai solo che \( f\) esiste a priori. Il limite uniforme implica la limitatezza e la continuità di \( f\). Non mi sembra di aver aggiunto chissà che. Era per rimarcare il fatto che bisogna trovare la \(f\). Abbiami un candidato che è limitato e poi si dimostra (con 3 paroline) che è pure continua quindi va bene e le funzioni continue su un intervallo chiuso sono complete

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gabriella127

14 mag 2021, 15:44

Mi rileggerò la tua dimostrazione con più attenzione, concettualmente sarà la stessa cosa, solo ad esempio tu richiedi prima di dimostrare che $B(X,mathbb(R)$ è uno spazio metrico. Ma chi ce lo fa fare?
Lo dico unicamente nell'ottica di uno studente che vede per la prima volta queste cose in modo non avanzato, caso mai non è di matematica.
In libri più avanzati, come le dispense che ho di analisi reale, si fa una dimostrazione più tipo la tua, vedendo $C[a,b]$ come caso particolare di risultati più generali, in libri meno avanzati c'è quella che ho scritto io.
Non c'è incompatibilità.

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3m0o

14 mag 2021, 21:00

"gabriella127": tu richiedi prima di dimostrare che $B(X,mathbb(R)$ è uno spazio metrico. Ma chi ce lo fa fare?

Beh senza chi mi dice che \( \rho(f,g) \) è una distanza? Distanza indotta sulla restrizione alle funzioni continue dalla norma che ci interessa a noi. Ma dopo \( f_n \) è di Cauchy rispetto a cosa? Converge in quale senso dopo? Rispetto a quale distanza? Potremmo farne a meno però.
Comunque basta dimostrare che \( \mathcal{B}(X,\mathbb{R}) \) è non vuoto, \( \rho(f,g) < \infty \) e che rispetta la positività, la simmetria e la disuguaglianza triangolare.

Per quanto riguarda invece l'altro è proprio la stessa dimostrazione, solo che più generale:

Presa una successione \( \{ f_n \}_{n} \) in \( \mathcal{B}(X,\mathbb{R}) \) abbiamo che
\[ \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall m \geq N, \forall n \geq N, \rho(f_m,f_n) < \epsilon \]
per \(x \in X \) fissato deduciamo che
\[ \forall \epsilon> 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall m \geq N, \forall n \geq N, \left| f_m(x),f_n(x) \right| < \epsilon \]
poiché \( \left| f_m(x)-f_n(x) \right| \leq \rho(f_m,f_n) \). Pertanto \( \{ f_n(x)\}_{n} \) è una successione di Cauchy in \(\mathbb{R} \). Per completezza della retta euclidea abbiamo che \( f_n(x) \to f(x) \in \mathbb{R} \). Applicando il medesimo argomento ad ogni \(x \in X \), abbiamo definito una funzione \( f: X \to \mathbb{R} \) tale che
\[ f(x) = \lim_{n\to \infty} f_n(x) \]
per ogni \(x \in X \). Questa \( f \) è il candidato ad essere la nostra funzione "limite". Ma non lo è ancora perché dobbiamo dimostrare che \( f \in C[a,b] \) o \( f \in \mathcal{B}(X,\mathbb{R}) \). Per farlo procediamo nel seguente modo:

Fissiamo \( \epsilon > 0 \), poiché la successione \( \{ f_n\} \) è di Cauchy esiste \( N \in \mathbb{N} \) tale che
\[ \forall m \geq N, \forall n \geq N, \forall x \in X, \left| f_n(x) - f_m(x) \right| < \epsilon \]
possiamo anche scriverlo così
\[ \forall n \geq N, \forall x \in X, \forall m \geq N, \left| f_n(x) - f_m(x) \right| < \epsilon \]
per tutti gli \( n \geq N \) e tutti gli \( x \in X \) otteniamo dunque
\[ \left| f_n(x) - f(x) \right| = \lim_{m \to \infty} \left| f_n(x) - f_m(x) \right| \leq \epsilon \]
abbiamo dunque dimostrato che
\[ \forall \epsilon > 0 , \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, \forall x \in X, \left| f_n(x) - f(x) \right| \leq \epsilon \]
Pertanto
\[ \lim_{n \to \infty} \sup\{ \left| f_n(x)-f(x) \right| : x \in X \} = 0 \ \ \ \ \ (1) \]

Questo ci permette di concludere sia che \(f\) è limitata sia di affermare che \(f\) è continua. È vero ho aggiunto, forse inutilmente di richiedere che sia limitata, ma è più generale.

Funzione limitata:
in particolare scegliendo \( \epsilon = 1 \) otteniamo che \( \left| f_N(x)-f(x) \right| \leq 1 \) per ogni \(x \in X \), e dunque \( \forall x \in X \)
\[ \left| f(x) \right| \leq \left| f(x) - f_N(x) \right| + \left| f_N(x) \right| \leq 1 + \sup\{ \left| f_N(y) \right| : y \in X \} \]
Dunque \(f\) è limitata e \( f_n \to f \) in \( (\mathcal{B}(X,\mathbb{R}),\rho) \).
Dunque, riassumendo, abbiamo che
\[ \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, \rho(f_n,f) \leq \epsilon \]

Funzione continua:
Dal limite in (1), i.e. \( \lim_{n \to \infty} \rho(f_n,f)=0 \), deduciamo che \( f_n \) converge uniformemente a \(f\), dunque prese \( f_n \) continue abbiamo che \(f \) è continua.

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gabriella127

14 mag 2021, 21:21

Leggo domani con calma.
Io partivo dall'idea che sappiamo già, come scritto da impe, che $C[a,b]$ è uno spazio normato con la norma del sup, e che uno spazio normato è uno spazio metrico con la distanza indotta dalla norma (visto anche che abbiamo scritto un limite).
Comunque volevo solo dire che quella che ho scritto è una dimostrazione molto semplice che conosco, visto anche impe è agli inizi di questa materia. Non che è meglio in sé.
Domani rileggo il tutto, ora non sono in grado.
'notte!

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dissonance

15 mag 2021, 08:43

Sono d'accordo con Gabriella, non occorre introdurre nessuno spazio metrico. Inoltre, una successione di funzioni non limitate può comunque convergere uniformemente. Per esempio,
\[
f_n(x)=e^x + \frac1n\ \text{converge uniformemente su }\mathbb R \text{ a } f(x)=e^x.\]
Passando dallo spazio delle funzioni limitate, questo esempio si perde.

Tuttavia penso che 3m0o faccia bene a scrivere queste cose, è molto istruttivo. Dà un senso di soddisfazione poter incasellare la teoria delle varie convergenze nell'analisi funzionale. https://terrytao.wordpress.com/career-a ... our-field/

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gabriella127

15 mag 2021, 10:06

Infatti, sono d'accordo con te, è molto interessante vedere le cose sia da un lato più elementare, sia in un contesto più avanzato. E questo anche per persone non esperte, che cominciano a inoltrarsi in questi temi.

[ot]Alla luce delle vicende recenti di cancellazione di messaggi da parte di utenti che vanno via, vorrei notare che questo è un esempio, tra i tanti, di thread degno di questo Forum (a parte i miei interventi ), anche per gli interventi sempre stimolanti di 3m0o: cioè interessante per molti, anche come consultazione in futuro, e non solo per l'OP.
Spero che questo problema di cancellazione dei messaggi si risolva presto, per mantenere l'integrità dei thread e della qualità del Forum, che non è un luogo usa e getta.[/ot]

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gabriella127

16 mag 2021, 14:53

[ot]Volevo riprendere le osservazioni di dissonance e 3m0o, sul provvedere dimostrazioni alternative, e sull'interesse nell'inquadrarle nei vari tipi di convergenza dell'analisi.
Mi sono resa conto che le questioni dei modi di convergenza, in primis i problemi intorno alla definizione (travagliata) della convergenza uniforme, sono stati nell'elaborazione dell'analisi moderna di primaria importanza storica, forse solo secondi alla definizione di limite e alle serie di Fourier.
Mi riferivo a 3m0o anche a proposito di un thread di notevole interesse da lui iniziato, che ha messo in luce un noto problema storico, il cosiddetto 'errore' di Cauchy, che avrebbe fallito, in un teorema, per non aver saputo formulare la nozione di convergenza uniforme. Il thread ha visto l'intervento di dissonance.
Io me ne sarei voluta occupare, ma mi richiede tempo e in questo periodo mi è difficile.
Poiché è un peccato però che il thread vada perso, proporrei, se 3m0o è d'accordo, che venga spostato eventualmente in Analisi superiore (o in Storia e fondamenti, ma temo che lì vada negletto), dove può avere qualche chance in più di risposta, visto che è inestricabilemente connesso con le serie di Fourier. E anche con l'Analisi non standard.

Il thread è in Analisi di base e si chiama '[Esercizio] Trovare errore in una dimostrazione di Cauchy', del 31/3/2021..
Scrivo qui questa cosa perché ci sono sia 3m0o che dissonance, e non saprei dove altro postarla.[/ot]

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dissonance

17 mag 2021, 07:44

Ma si, certo Gabriella.

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3m0o

18 mag 2021, 11:12

"dissonance":Ma si, certo Gabriella.

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[3m0o]

Sono con il cellulare, quindi ho letto di fretta e non mi mettero a scrivere in LaTeX, ad ogni modo mi sembra esattamente la stessa cosa che ho detto io. Quando tu passi dalla completezza di \(\mathbb{R}\) per dire che esiste \(f(t)\) per ogni \(t\) in realtà hai solo che \( f\) esiste a priori. Il limite uniforme implica la limitatezza e la continuità di \( f\). Non mi sembra di aver aggiunto chissà che. Era per rimarcare il fatto che bisogna trovare la \(f\). Abbiami un candidato che è limitato e poi si dimostra (con 3 paroline) che è pure continua quindi va bene e le funzioni continue su un intervallo chiuso sono complete

[gabriella127]

Mi rileggerò la tua dimostrazione con più attenzione, concettualmente sarà la stessa cosa, solo ad esempio tu richiedi prima di dimostrare che $B(X,mathbb(R)$ è uno spazio metrico. Ma chi ce lo fa fare?
Lo dico unicamente nell'ottica di uno studente che vede per la prima volta queste cose in modo non avanzato, caso mai non è di matematica.
In libri più avanzati, come le dispense che ho di analisi reale, si fa una dimostrazione più tipo la tua, vedendo $C[a,b]$ come caso particolare di risultati più generali, in libri meno avanzati c'è quella che ho scritto io.
Non c'è incompatibilità.

[3m0o]

"gabriella127": tu richiedi prima di dimostrare che $B(X,mathbb(R)$ è uno spazio metrico. Ma chi ce lo fa fare?

Beh senza chi mi dice che \( \rho(f,g) \) è una distanza? Distanza indotta sulla restrizione alle funzioni continue dalla norma che ci interessa a noi. Ma dopo \( f_n \) è di Cauchy rispetto a cosa? Converge in quale senso dopo? Rispetto a quale distanza? Potremmo farne a meno però.
Comunque basta dimostrare che \( \mathcal{B}(X,\mathbb{R}) \) è non vuoto, \( \rho(f,g) < \infty \) e che rispetta la positività, la simmetria e la disuguaglianza triangolare.

Per quanto riguarda invece l'altro è proprio la stessa dimostrazione, solo che più generale:

Presa una successione \( \{ f_n \}_{n} \) in \( \mathcal{B}(X,\mathbb{R}) \) abbiamo che
\[ \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall m \geq N, \forall n \geq N, \rho(f_m,f_n) < \epsilon \]
per \(x \in X \) fissato deduciamo che
\[ \forall \epsilon> 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall m \geq N, \forall n \geq N, \left| f_m(x),f_n(x) \right| < \epsilon \]
poiché \( \left| f_m(x)-f_n(x) \right| \leq \rho(f_m,f_n) \). Pertanto \( \{ f_n(x)\}_{n} \) è una successione di Cauchy in \(\mathbb{R} \). Per completezza della retta euclidea abbiamo che \( f_n(x) \to f(x) \in \mathbb{R} \). Applicando il medesimo argomento ad ogni \(x \in X \), abbiamo definito una funzione \( f: X \to \mathbb{R} \) tale che
\[ f(x) = \lim_{n\to \infty} f_n(x) \]
per ogni \(x \in X \). Questa \( f \) è il candidato ad essere la nostra funzione "limite". Ma non lo è ancora perché dobbiamo dimostrare che \( f \in C[a,b] \) o \( f \in \mathcal{B}(X,\mathbb{R}) \). Per farlo procediamo nel seguente modo:

Fissiamo \( \epsilon > 0 \), poiché la successione \( \{ f_n\} \) è di Cauchy esiste \( N \in \mathbb{N} \) tale che
\[ \forall m \geq N, \forall n \geq N, \forall x \in X, \left| f_n(x) - f_m(x) \right| < \epsilon \]
possiamo anche scriverlo così
\[ \forall n \geq N, \forall x \in X, \forall m \geq N, \left| f_n(x) - f_m(x) \right| < \epsilon \]
per tutti gli \( n \geq N \) e tutti gli \( x \in X \) otteniamo dunque
\[ \left| f_n(x) - f(x) \right| = \lim_{m \to \infty} \left| f_n(x) - f_m(x) \right| \leq \epsilon \]
abbiamo dunque dimostrato che
\[ \forall \epsilon > 0 , \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, \forall x \in X, \left| f_n(x) - f(x) \right| \leq \epsilon \]
Pertanto
\[ \lim_{n \to \infty} \sup\{ \left| f_n(x)-f(x) \right| : x \in X \} = 0 \ \ \ \ \ (1) \]

Questo ci permette di concludere sia che \(f\) è limitata sia di affermare che \(f\) è continua. È vero ho aggiunto, forse inutilmente di richiedere che sia limitata, ma è più generale.

Funzione limitata:
in particolare scegliendo \( \epsilon = 1 \) otteniamo che \( \left| f_N(x)-f(x) \right| \leq 1 \) per ogni \(x \in X \), e dunque \( \forall x \in X \)
\[ \left| f(x) \right| \leq \left| f(x) - f_N(x) \right| + \left| f_N(x) \right| \leq 1 + \sup\{ \left| f_N(y) \right| : y \in X \} \]
Dunque \(f\) è limitata e \( f_n \to f \) in \( (\mathcal{B}(X,\mathbb{R}),\rho) \).
Dunque, riassumendo, abbiamo che
\[ \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, \rho(f_n,f) \leq \epsilon \]

Funzione continua:
Dal limite in (1), i.e. \( \lim_{n \to \infty} \rho(f_n,f)=0 \), deduciamo che \( f_n \) converge uniformemente a \(f\), dunque prese \( f_n \) continue abbiamo che \(f \) è continua.

[gabriella127]

Leggo domani con calma.
Io partivo dall'idea che sappiamo già, come scritto da impe, che $C[a,b]$ è uno spazio normato con la norma del sup, e che uno spazio normato è uno spazio metrico con la distanza indotta dalla norma (visto anche che abbiamo scritto un limite).
Comunque volevo solo dire che quella che ho scritto è una dimostrazione molto semplice che conosco, visto anche impe è agli inizi di questa materia. Non che è meglio in sé.
Domani rileggo il tutto, ora non sono in grado.
'notte!

[dissonance]

Sono d'accordo con Gabriella, non occorre introdurre nessuno spazio metrico. Inoltre, una successione di funzioni non limitate può comunque convergere uniformemente. Per esempio,
\[
f_n(x)=e^x + \frac1n\ \text{converge uniformemente su }\mathbb R \text{ a } f(x)=e^x.\]
Passando dallo spazio delle funzioni limitate, questo esempio si perde.

Tuttavia penso che 3m0o faccia bene a scrivere queste cose, è molto istruttivo. Dà un senso di soddisfazione poter incasellare la teoria delle varie convergenze nell'analisi funzionale. https://terrytao.wordpress.com/career-a ... our-field/

[gabriella127]

Infatti, sono d'accordo con te, è molto interessante vedere le cose sia da un lato più elementare, sia in un contesto più avanzato. E questo anche per persone non esperte, che cominciano a inoltrarsi in questi temi.

[ot]Alla luce delle vicende recenti di cancellazione di messaggi da parte di utenti che vanno via, vorrei notare che questo è un esempio, tra i tanti, di thread degno di questo Forum (a parte i miei interventi ), anche per gli interventi sempre stimolanti di 3m0o: cioè interessante per molti, anche come consultazione in futuro, e non solo per l'OP.
Spero che questo problema di cancellazione dei messaggi si risolva presto, per mantenere l'integrità dei thread e della qualità del Forum, che non è un luogo usa e getta.[/ot]

[gabriella127]

[ot]Volevo riprendere le osservazioni di dissonance e 3m0o, sul provvedere dimostrazioni alternative, e sull'interesse nell'inquadrarle nei vari tipi di convergenza dell'analisi.
Mi sono resa conto che le questioni dei modi di convergenza, in primis i problemi intorno alla definizione (travagliata) della convergenza uniforme, sono stati nell'elaborazione dell'analisi moderna di primaria importanza storica, forse solo secondi alla definizione di limite e alle serie di Fourier.
Mi riferivo a 3m0o anche a proposito di un thread di notevole interesse da lui iniziato, che ha messo in luce un noto problema storico, il cosiddetto 'errore' di Cauchy, che avrebbe fallito, in un teorema, per non aver saputo formulare la nozione di convergenza uniforme. Il thread ha visto l'intervento di dissonance.
Io me ne sarei voluta occupare, ma mi richiede tempo e in questo periodo mi è difficile.
Poiché è un peccato però che il thread vada perso, proporrei, se 3m0o è d'accordo, che venga spostato eventualmente in Analisi superiore (o in Storia e fondamenti, ma temo che lì vada negletto), dove può avere qualche chance in più di risposta, visto che è inestricabilemente connesso con le serie di Fourier. E anche con l'Analisi non standard.

Il thread è in Analisi di base e si chiama '[Esercizio] Trovare errore in una dimostrazione di Cauchy', del 31/3/2021..
Scrivo qui questa cosa perché ci sono sia 3m0o che dissonance, e non saprei dove altro postarla.[/ot]

[dissonance]

Ma si, certo Gabriella.

[3m0o]

"dissonance":Ma si, certo Gabriella.