Integrale sul piano complesso

[devon3141]

Salve a tutti. Mi viene richiesto di calcolare, mediante tecniche di integrazione sul piano complesso, il seguente integrale:


$ I=int_-pi^pi e^{2ix}/{1+sinx/2} dx $ .


Ho proceduto ponendo la sostituzione $ e^{ix}=z $ , $ dx=dz/{iz} $ , $ sin(x)={z-z^-1}/{2i} $, ottenendo così ( vi risparmio i calcoli ):


$ I= 4oint_(C) z^2/{z^2+4iz-1}dz $,


dove $ C $ è la circonferenza, nel piano complesso, centrata nell'origine e di raggio $ r=1 $ .

Da qui ho calcolato il residuo nella singolarità interna alla circonferenza :

$ z^2 +4iz-1=0 rarr z=-2i+-sqrt3i $ .

Soltanto $ z_1=-2+sqrt3i $ è interno alla circonferenza, quindi calcolerò il residuo soltanto in questo punto.

$ Res{z^2/{z^2+4iz-1}}_{z_1} = lim_(z -> z_1) (z+2i-sqrt3i) z^2/((z+2i-sqrt3i) (z+2i+sqrt3i) $ $={7-4sqrt3}/{2sqrt3 i $.

di conseguenza , per il teorema dei residui :

$ I=4*2pii*{7-4sqrt3}/{2sqrt3i} ~~ 0.52 $ .

Wolfram Alpha pare darmi ragione quindi, fin qui, tutto ok.

Come secondo punto del problema mi viene però richiesto di " giustificare" il fatto che $ I $ sia un numero reale, sebbene l'integranda sia complessa. Ho pensato di suddividere l'integrale mediante l'identità di Eulero e studiare la parte immaginaria :
.
$ I=int_-pi^picos(2x)/{1+{sin(x)}/2 }dx + iint_-pi^pisin(2x)/{1+{sin(x)}/2 }dx $ .

Sostituendo come prima :

$ int_-pi^pisin(2x)/{1+{sin(x)}/2 }dx =4 oint_(c) {{z^2+z^-2}/{2i}}/{z^2+4iz-1} dz=2/ioint_c {z^4+1}/{z^2(z^2+4iz-1)}dz $ .



La parte immaginaria non è né pari, né dispari, quindi non posso, teoricamente, stabilire a priori che sia zero.

Vi chiedo pertanto se ci sia qualcosa che mi sfugge a livello teorico o se sia obbligato a calcolare, nuovamente, anche il secondo integrale.

Grazie in anticipo

[pilloeffe]

Ciao devon3141,

Benvenuto sul forum!

"devon3141":Soltanto $z_1=−2+sqrt3 i $ è interno alla circonferenza, quindi calcolerò il residuo soltanto in questo punto.

In realtà è $z_1 = i(sqrt3 - 2) $
Attenzione poi perché c'è un errore di segno nel calcolo del residuo, infatti si ha:

$\text{Res}{z^2/{z^2+4iz-1}}_{z_1} = \lim_{z \to z_1} (z+2i-sqrt3i) z^2/((z+2i-sqrt3i)(z+2i+sqrt3i)) = (4sqrt3 - 7)/(2sqrt3 i) $

Di conseguenza per il teorema dei residui si ha:

$ I = 4 \cdot 2\pi i \cdot (4sqrt3 - 7)/(2sqrt3 i) = 4 \pi \cdot (4sqrt3 - 7)/(sqrt3) ≈ - 0,52090 $

"devon3141":Come secondo punto del problema mi viene però richiesto di " giustificare" il fatto che $I$ sia un numero reale, sebbene l'integranda sia complessa. Ho pensato di suddividere l'integrale mediante l'identità di Eulero e studiare la parte immaginaria:

$I = \int_-pi^pi cos(2x)/(1+(sin(x))/2) dx + i \int_-pi^pi sin(2x)/(1+(sin(x))/2) dx $

La parte immaginaria non è né pari, né dispari, quindi non posso, teoricamente, stabilire a priori che sia zero.

Giusto... Qui però per "giustificare" il fatto che $I$ sia un numero reale risolverei semplicemente nei reali il secondo integrale dimostrando che è nullo.
Partendo dall'integrale indefinito si ha:

$ \int sin(2x)/(1+(sin(x))/2) \text{d}x = \int (2sin(x)cos(x))/(1+(sin(x))/2) \text{d}x = 4 \int (sin(x)cos(x))/(sin(x) + 2) \text{d}x $

Posto $t := sin(x) \implies \text{d}t = cos(x) \text{d}x $, si ha:

$ \int sin(2x)/(1+(sin(x))/2) \text{d}x = 4 \int (sin(x)cos(x))/(sin(x) + 2) \text{d}x = 4 \int t/(t + 2) \text{d}t = 4 \int (t + 2 - 2)/(t + 2) \text{d}t = $
$ = 4 [\int \text{d}t - 2 \int 1/(t + 2) \text{d}t] = 4[t - 2 ln(t + 2)] + c = 4 [sin(x) - 2 ln(sin(x) + 2)] + c $

Dunque si ha:

$ \int_{-\pi}^\pi sin(2x)/(1+(sin(x))/2) \text{d}x = 4 [sin(x) - 2 ln(sin(x) + 2)]_{-\pi}^\pi = $
$ = 4 [sin(\pi) - 2 ln(sin(\pi) + 2) - sin(- \pi) + 2 ln(sin(-\pi) + 2)] = $
$ = 4 [0 - 2 ln(2) - 0 + 2 ln(2)] = 0 $

[anonymous_0b37e9]

"devon3141":
... se ci sia qualcosa che mi sfugge a livello teorico ...

Volendo:

$[x=barx-\pi/2] rarr [(2sin2x)/(sinx+2)=(2sin2barx)/(cosbarx-2)]$ dispari per $-\pi/2 lt= barx lt= \pi/2$

$[x=barx+\pi/2] rarr [(2sin2x)/(sinx+2)=-(2sin2barx)/(cosbarx+2)]$ dispari per $-\pi/2 lt= barx lt= \pi/2$

[pilloeffe]

"devon3141":[...] o se sia obbligato a calcolare, nuovamente, anche il secondo integrale.

Questo a dire la verità mi sembra piuttosto improbabile benché possibile, perché comunque sarebbe più complicato dell'esercizio iniziale... Pertanto ritengo più probabile che chi ha concepito l'esercizio intendesse qualcosa del genere che ho scritto nel mio primo post di risposta; tuttavia per completezza riportiamo anche il calcolo col secondo integrale, dove poi c'è anche un errore di segno, perché mi risulta che si ha:

$\int_{-pi}^pi sin(2x)/{1+(sin(x))/2}\text{d}x = 2/i \oint_c (z^4-1)/(z^2(z^2+4iz-1))\text{d}z $

Stavolta all'interno del cerchio non c'è soltanto $z_1 = i(sqrt3 - 2) $, ma c'è anche il polo doppio in $z = 0 $, per cui applicando il teorema dei residui all'ultimo integrale si ha:

$\int_{-pi}^pi sin(2x)/{1+(sin(x))/2}\text{d}x = 2/i \oint_c (z^4-1)/(z^2(z^2+4iz-1))\text{d}z = $
$ = 2/i \cdot 2\pi i {\text{Res}[(z^4-1)/(z^2(z^2+4iz-1)), z = 0] + \text{Res}[(z^4-1)/(z^2(z^2+4iz-1)), z_1 = i(sqrt3 - 2)]} = $
$ = 4\pi {\lim_{z \to 0} \text{d}/(\text{d}z)[(z^4-1)/(z^2+4iz-1)] + \lim_{z \to z_1} (z+2i-sqrt3 i) (z^4 - 1)/(z^2(z+2i-sqrt3i) (z+2i+sqrt3i))} = $
$ = 4\pi {\lim_{z \to 0} (2 (z^5 + 6 i z^4 - 2 z^3 + z + 2i))/(z^2 + 4 i z -1)^2 + \lim_{z \to z_1} (z^4 - 1)/(z^2(z+2i+sqrt3i))} = 4\pi {4i - 4i} = 0 $