Intuizione dietro la costruzione del completamento di uno spazio di misura
Sia \( X \) un insieme non vuoto, sia \( \mathcal M \) una \( \sigma \)-algebra su \( X \) e sia \( \mu\colon \mathcal M\to \left[0,+\infty\right] \) una misura.
L'idea dietro il "completamento" \( \overline{\mathcal M} \) della \( \sigma \)-algebra \( \mathcal M \) è che \( \overline{\mathcal M} \) "è \( \mathcal M \), però con in più tutti i sottoinsiemi degli insiemi di misura nulla".
Si definisce (sul Folland, ad esempio) quindi \( \overline{\mathcal M} \) come l'insieme
\[
\overline{\mathcal M} = \left\{A\cup B : \text{$ A\in\mathcal M $ e $ B\subset N $ per qualche $ N $ tale che $ \mu(N) = 0 $}\right\}
\] e si fa vedere che questo coso è una \( \sigma \)-algebra. Perché questa è la definizione giusta? Qual è l'intuizione che dovrebbe portare una persona a considerare questo insieme?
Sì, ok, è vero che se \( A \) ha misura nulla e \( B\subset A \) misurabile (intendo "appartiene alla \( \sigma \)-algebra"), allora si ha che
\[
\overline\mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B) = \mu(A) + 0
\]dove \( \overline\mu\colon\overline{\mathcal M}\to\left[0,+\infty\right] \) è l'unica estensione di \( \mu \) possibile, ma chi mi dice che non c'è un altro modo di costruire \( \overline{\mathcal M} \) che dà un oggetto equivalente ai nostri scopi?
E, bonus: c'è una caratterizzazione "universale" del completamento dello spazio di misura \( (X,\mathcal M,\mu) \)?
L'idea dietro il "completamento" \( \overline{\mathcal M} \) della \( \sigma \)-algebra \( \mathcal M \) è che \( \overline{\mathcal M} \) "è \( \mathcal M \), però con in più tutti i sottoinsiemi degli insiemi di misura nulla".
Si definisce (sul Folland, ad esempio) quindi \( \overline{\mathcal M} \) come l'insieme
\[
\overline{\mathcal M} = \left\{A\cup B : \text{$ A\in\mathcal M $ e $ B\subset N $ per qualche $ N $ tale che $ \mu(N) = 0 $}\right\}
\] e si fa vedere che questo coso è una \( \sigma \)-algebra. Perché questa è la definizione giusta? Qual è l'intuizione che dovrebbe portare una persona a considerare questo insieme?
Sì, ok, è vero che se \( A \) ha misura nulla e \( B\subset A \) misurabile (intendo "appartiene alla \( \sigma \)-algebra"), allora si ha che
\[
\overline\mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B) = \mu(A) + 0
\]dove \( \overline\mu\colon\overline{\mathcal M}\to\left[0,+\infty\right] \) è l'unica estensione di \( \mu \) possibile, ma chi mi dice che non c'è un altro modo di costruire \( \overline{\mathcal M} \) che dà un oggetto equivalente ai nostri scopi?
E, bonus: c'è una caratterizzazione "universale" del completamento dello spazio di misura \( (X,\mathcal M,\mu) \)?
Risposte
Questa costruzione ti dà la più piccola $\sigma$-algebra che estende \( \mathcal M \) che ammetta un'estensione di $\mu$ completa. Quando si fa un completamento, di solito si vuole modificare l'oggetto il meno possibile rendendolo completo, per questo si prende proprio questo insieme.
Ok, grazie! 
Ti faccio un'altra domanda un po' stupida: di solito, non c'è una descrizione esplicita della \( \sigma \)-algebra generata da una famiglia di sottoinsiemi di un qualche insieme \( X \), vero? È una particolarità di \( \overline{\mathcal M} \) avere questa forma, giusto?
Ti faccio un'altra domanda un po' stupida: di solito, non c'è una descrizione esplicita della \( \sigma \)-algebra generata da una famiglia di sottoinsiemi di un qualche insieme \( X \), vero? È una particolarità di \( \overline{\mathcal M} \) avere questa forma, giusto?
"marco2132k":
Ti faccio un'altra domanda un po' stupida: di solito, non c'è una descrizione esplicita della \( \sigma \)-algebra generata da una famiglia di sottoinsiemi di un qualche insieme \( X \), vero?
Beh dipende cosa intendi con esplicita, ma di base no. C'è un caso sufficientemente vasto e abbastanza importante in cui una descrizione, che un po' tutti accetterebbero di chiamare esplicita, esiste ed è molto difficile. Si tratta delle $\sigma$-algebre generate da alcune topologie, tra cui tutte quelle metrizzabili.
È una particolarità di \( \overline{\mathcal M} \) avere questa forma, giusto?
Il fatto è che questa non è la $\sigma$-algebra generata da una famiglia di insiemi, è una costruzione diversa, è per questo che è facile da descrivere.
"otta96":Urca, è vero... Grazie!
Il fatto è che questa non è la σ-algebra generata da una famiglia di insiemi, è una costruzione diversa, è per questo che è facile da descrivere.
C'è un caso sufficientemente vasto e abbastanza importante in cui una descrizione [della \( \sigma \)-algebra generata da una famiglia di insiemi], che un po' tutti accetterebbero di chiamare esplicita, esiste ed è molto difficile.A cosa ti stai riferendo, per curiosità?
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