Problema di Cauchy per EDP primo ordine e quasi-lineari
Buonasera,
- Consideriamo la curva $ Gamma: I -> RR^3 $ , con $ I sub RR $, e $ Gamma $ tale che
$ Gamma(tau)= { ( phi(tau) ),( psi(tau) ),( sigma(tau) ):}$
- Consideriamo la curva $ gamma: I->RR^2 $, definita come proiezione ortogonale di $ Gamma $ sul piano $ xy $
$ gamma(tau)= { ( phi(tau)),( psi(tau) ):} $
Non riesco a capire il significato geometrico (nello spazio tridimensionale) del seguente problema di Cauchy in cui si cerca una funzione $u(x,y)$ tale che:
$ { ( P(x,y,u)u_x +Q(x,y,u)u_y=R(x,y,u) ),( u(phi(tau), psi(tau))=sigma(tau) (forall tau in I) ):} $
$P$ , $Q$, ed $R$ appartengono a $C^1$ e sono definite su un aperto $Omega$ di $RR^3$.
La soluzione $u(x,y)$ è una funzione definita su un aperto $U$ di $RR^2$
Considerate la seguente equazione:
$u(phi(tau), psi(tau))=sigma(tau) (forall tau in I)$
Cosa significa?
Se assegno alla funzione $ u $ i punti $ (x,y) $, tali che la coppia di punti $ (x,y) $ appartiene alla curva $ gamma $, allora avrò in output la terza componente della curva $ Gamma $ ?
Questa equazione dovrebbe avere un preciso significato nello spazio tridimensionale, ma io non riesco a coglierlo.
- Consideriamo la curva $ Gamma: I -> RR^3 $ , con $ I sub RR $, e $ Gamma $ tale che
$ Gamma(tau)= { ( phi(tau) ),( psi(tau) ),( sigma(tau) ):}$
- Consideriamo la curva $ gamma: I->RR^2 $, definita come proiezione ortogonale di $ Gamma $ sul piano $ xy $
$ gamma(tau)= { ( phi(tau)),( psi(tau) ):} $
Non riesco a capire il significato geometrico (nello spazio tridimensionale) del seguente problema di Cauchy in cui si cerca una funzione $u(x,y)$ tale che:
$ { ( P(x,y,u)u_x +Q(x,y,u)u_y=R(x,y,u) ),( u(phi(tau), psi(tau))=sigma(tau) (forall tau in I) ):} $
$P$ , $Q$, ed $R$ appartengono a $C^1$ e sono definite su un aperto $Omega$ di $RR^3$.
La soluzione $u(x,y)$ è una funzione definita su un aperto $U$ di $RR^2$
DUBBIO:
Considerate la seguente equazione:
$u(phi(tau), psi(tau))=sigma(tau) (forall tau in I)$
Cosa significa?
Se assegno alla funzione $ u $ i punti $ (x,y) $, tali che la coppia di punti $ (x,y) $ appartiene alla curva $ gamma $, allora avrò in output la terza componente della curva $ Gamma $ ?
Questa equazione dovrebbe avere un preciso significato nello spazio tridimensionale, ma io non riesco a coglierlo.
Risposte
Piuttosto informalmente, della seguente equazione differenziale alle derivate parziali:
devi determinare la soluzione u(x,y) che, in corrispondenza di una determinata curva nel piano xy (appartenente al dominio):
assuma determinati valori:
Il grafico della funzione u(x,y) nello spazio tridimensionale xyu (una superficie) deve avere come bordo la curva tridimensionale:
$P(x,y,u)(delu)/(delx)+Q(x,y,u)(delu)/(dely)=R(x,y,u)$
devi determinare la soluzione u(x,y) che, in corrispondenza di una determinata curva nel piano xy (appartenente al dominio):
${(x_0(t)),(y_0(t)):}$
assuma determinati valori:
$u_0(t)$
"anonymous_f3d38a":
Questa equazione dovrebbe avere un preciso significato nello spazio tridimensionale ...
Il grafico della funzione u(x,y) nello spazio tridimensionale xyu (una superficie) deve avere come bordo la curva tridimensionale:
${(x_0(t)),(y_0(t)),(u_0(t)):}$
"anonymous_f3d38a":
$u(phi(tau), psi(tau))=sigma(tau) (forall tau in I)$
Cosa significa?
Se assegno alla funzione $ u $ i punti $ (x,y) $, tali che la coppia di punti $ (x,y) $ appartiene alla curva $ gamma $, allora avrò in output la terza componente della curva $ Gamma $ ?
Questa equazione dovrebbe avere un preciso significato nello spazio tridimensionale, ma io non riesco a coglierlo.
Il significato nello spazio tridimensionale è il seguente (ed è piuttosto semplice):
devi trovare una funzione $u(x,y)$ (che nello spazio tridimensionale può essere una superficie) che contiene la curva $Gamma$.
Pensa di aver già trovato la soluzione, ammesso che esista.
Sul piano $xy$ hai $gamma$, che è la proiezione di $Gamma$.
Nello spazio tridimensionale hai una superficie che non è altro che il grafico di $u(x,y)$.
La condizione ti dice che, affinché $u(x,y)$ sia soluzione, $Gamma$ deve appartenere alla superficie.
"anonymous_0b37e9":
Il grafico della funzione u(x,y) nello spazio tridimensionale xyu (una superficie) deve avere come bordo la curva tridimensionale:
${(x_0(t)),(y_0(t)),(u_0(t)):}$
Come bordo? Sicuro?
grazie a tutti
La condizione al bordo significa che $u_(|gamma) = sigma$, nulla più, però è scritta malaccio... Dove l'hai trovata?
Libro di Metodi Matematici scritto dal mio professore (un matematico)
"anonymous_f3d38a":
Libro di Metodi Matematici scritto dal mio professore (un matematico)
E qual è?
Ne conosco solo un paio, più una dispensa... E su nessuno di questi la notazione usata è questa.
"gugo82":
[ot]E qual è?
Ne conosco solo un paio, più una dispensa... E su nessuno di questi la notazione usata è questa.[/ot]
[ot]Preferirei non dirlo per non rivelare la sua identità (e la mia). E' un professore molto permaloso ed irrascibile, ed io per primo ho trovato parecchi refusi sul suo libro
. Evito perché magari frequenta anche lui questo forum, chissà![/ot]
"anonymous_f3d38a":
[quote="gugo82"]
[ot]E qual è?
Ne conosco solo un paio, più una dispensa... E su nessuno di questi la notazione usata è questa.[/ot]
[ot]Preferirei non dirlo per non rivelare la sua identità (e la mia). E' un professore molto permaloso ed irrascibile, ed io per primo ho trovato parecchi refusi sul suo libro
. Evito perché magari frequenta anche lui questo forum, chissà![/ot][/quote][ot]Esistono i PM.[/ot]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo