Esercizio convergenza in spazi $L^p$
Data la successione
$u_n(x) = 1/n e^{-|x| / n}$, $x \in R$.
Discutere convergenza puntuale e il $L^P$
Mia idea.
Convergenza puntuale sembra ovvia, in quanto per ogni $x$ basta calcolare per $n$ che va all'inf
$lim u_n = 0$, ovvero si ha convergenza puntuale a $0$.
Per il limite in $L^p$, sia $p$ finito, allora valuto
$(||u_n||_p )^P = ... = 2(1/n)^{p-1}$, che tende a $0$ al limite per $n$ che va all'inf. (Ho omesso i calcoli, spero di non averne sbagliato)
Quindi si ha anche convergenza in norma p.
Può andare bene? Sbaglio qualcosa.
Nota. Vi chiedo: se una successione di funzioni converge puntualmente non posso dire a priori (a meno di avere una condizione di dominazione) che essa stessa converga a quella in norma. Ma se la successione converge in entrambi i modi, vanno allo stesso limite, giusto?
Vi ringrazio.
$u_n(x) = 1/n e^{-|x| / n}$, $x \in R$.
Discutere convergenza puntuale e il $L^P$
Mia idea.
Convergenza puntuale sembra ovvia, in quanto per ogni $x$ basta calcolare per $n$ che va all'inf
$lim u_n = 0$, ovvero si ha convergenza puntuale a $0$.
Per il limite in $L^p$, sia $p$ finito, allora valuto
$(||u_n||_p )^P = ... = 2(1/n)^{p-1}$, che tende a $0$ al limite per $n$ che va all'inf. (Ho omesso i calcoli, spero di non averne sbagliato)
Quindi si ha anche convergenza in norma p.
Può andare bene? Sbaglio qualcosa.
Nota. Vi chiedo: se una successione di funzioni converge puntualmente non posso dire a priori (a meno di avere una condizione di dominazione) che essa stessa converga a quella in norma. Ma se la successione converge in entrambi i modi, vanno allo stesso limite, giusto?
Vi ringrazio.
Risposte
"AAnto":
Ma se la successione converge in entrambi i modi, vanno allo stesso limite, giusto?
Se \( f_n \to g \) in \(L^p\) allora esiste una sottosuccessione \(f_{n_k}\) di \(f_n\) tale che \( f_{n_k} \to g \) puntualmente quasi ovunque. Se per ipotesi si ha anche \( f_n \to f \) puntualmente quasi ovunque, allora sara' \(f=g\) q.o.
[...] Può andare bene?
Nì, io vorrei vedere i calcoli che hai fatto dove scrivi "\(\dots\)". Inoltre non specifichi il range di \(p\). Cosa succede se \( p=1\)? La convergenza puntuale e' ok.
Sono andato a calcolare l'integrale su tutto $R$ di $|u_n|^p$. Quello è solo un calcolo dell'integrale. Ho posto $p>= 1$ ma non infinito. Se $p = 1$ l'integrale viene 2.
"AAnto":
[...] Se $p = 1$ l'integrale viene 2.
E quindi \( u_n\) converge anche in \(L^1\)?
$u_n$ converge a 2 in norma $L^1$ e converge a 0 in norma $L^p$ per $p>1$ (ma non infinito).
"AAnto":
$u_n$ converge a 2 in norma $L^1$ [...]
No, semmai la successione delle norme \(L^1\) di \(u_n\) converge a \(2\) (e' costante). \(u_n\) non converge in \(L^1\); il candidato limite (in \(L^1\)) dovrebbe essere \(0\) (cioe' la funzione identicamente nulla). Ma \( \|u_n - 0\|_{L^1} \to 2 \ne 0 \).
Ecco, come sospettavo non ho capito qualcosa.
Il candidato limite è $0$ perché il limite puntuale è zero?
Cioè questo è il ragionamento che dovrei fare ogni volta negli esercizi?
Se $f_n \to f$ puntualmente allora (se c'è convergenza $L^p$) sarà sempre che $||f_n - f|| \to 0$?
Nel senso la $f$ della convergenza in norma è sempre la stessa della convergenza puntuale?
Il candidato limite è $0$ perché il limite puntuale è zero?
Cioè questo è il ragionamento che dovrei fare ogni volta negli esercizi?
Se $f_n \to f$ puntualmente allora (se c'è convergenza $L^p$) sarà sempre che $||f_n - f|| \to 0$?
Nel senso la $f$ della convergenza in norma è sempre la stessa della convergenza puntuale?
"AAnto":
Ecco, come sospettavo non ho capito qualcosa.
Il candidato limite è $0$ perché il limite puntuale è zero?
Cioè questo è il ragionamento che dovrei fare ogni volta negli esercizi?
Se $f_n \to f$ puntualmente allora (se c'è convergenza $L^p$) sarà sempre che $||f_n - f|| \to 0$?
Nel senso la $f$ della convergenza in norma è sempre la stessa della convergenza puntuale?
Si', se \( f_n \to f \) puntualmente q.o. allora \(f\) e' anche il candidato limite in norma \(L^p\) (la ragione l'ho scritta sopra: se esiste, il limite \(L^p\) deve coincidere con quello puntuale q.o.). Ovviamente puo' succedere che \( f_n \to f \) puntualmente q.o. ma \( \|f_n - f\|_{L^p} \not\to 0 \) per qualche \(p\).
Ti ringrazio. Comunque, riusciresti a controllarmi quanto di seguito?
Allora per gli spazi $L^p$,
$f_n$ converge puntualmente alla funzione limite $f$ se $\forall x \in X$ $lim f_n = f$ (n va all'infinito).
(dovrebbe essere analoga alla convergenza quasi ovunque, se $\forall x \in X$ $lim f_n = f$ q.o (n va all'infinito))
$f_n$ (in $L^p$) converge in norma $p$ alla funzione limite $f$ se $|| f_n - f||_p = 0$.
Risulta che la convergenza puntuale (o q.o) con una condizione di dominazione, implica la convergenza in norma. Mentre la convergenza in norma non implica quella puntuale (o q.o.), ma se ho una successione di Cauchy $(f_n)$ (in $L^p$) allora esiste una sua estratta che converge puntualmente (o q.o.).
Poi si ha il concetto di convergenza in misura: in uno spazio metrico con misura, una successione $f_n$ di funzioni misurabili converge in norma a $f$, se $\forall \epsilon >0$ si ha $lim m(|f_n -f| > \epsilon) = 0$ (h all infinito)
Si ha poi il concetto di convergenza debole.
(ulteriore domanda... convergenza forte è la convergenza in norma p, giusto?)
Allora per gli spazi $L^p$,
$f_n$ converge puntualmente alla funzione limite $f$ se $\forall x \in X$ $lim f_n = f$ (n va all'infinito).
(dovrebbe essere analoga alla convergenza quasi ovunque, se $\forall x \in X$ $lim f_n = f$ q.o (n va all'infinito))
$f_n$ (in $L^p$) converge in norma $p$ alla funzione limite $f$ se $|| f_n - f||_p = 0$.
Risulta che la convergenza puntuale (o q.o) con una condizione di dominazione, implica la convergenza in norma. Mentre la convergenza in norma non implica quella puntuale (o q.o.), ma se ho una successione di Cauchy $(f_n)$ (in $L^p$) allora esiste una sua estratta che converge puntualmente (o q.o.).
Poi si ha il concetto di convergenza in misura: in uno spazio metrico con misura, una successione $f_n$ di funzioni misurabili converge in norma a $f$, se $\forall \epsilon >0$ si ha $lim m(|f_n -f| > \epsilon) = 0$ (h all infinito)
Si ha poi il concetto di convergenza debole.
(ulteriore domanda... convergenza forte è la convergenza in norma p, giusto?)
"AAnto":
Ti ringrazio. Comunque, riusciresti a controllarmi quanto di seguito? [...]
Cosa dovrei controllare? La definizione di convergenza in \(L^p\) non ha senso, quella di convergenza in misura e' sbagliata. De dove proviene questa roba? Se vuoi studiare per bene prenditi un libro base di Analisi Reale / Analisi Funzionale e leggi le definizioni giuste. Puoi iniziare con le dispense di Monti, capitolo 4.
Quella di convergenza in misura è giusta... 
In quella di convergenza forte (o in norma, che dir si voglia) manca un limite, ma credo sia un typo.
In quella di convergenza forte (o in norma, che dir si voglia) manca un limite, ma credo sia un typo.
"gugo82":
Quella di convergenza in misura è giusta...
Well... no.
"AAnto":
in uno spazio metrico con misura, una successione $f_n$ di funzioni misurabili converge [strike]in norma[/strike] in misura a $f$, se $\forall \epsilon >0$ si ha $lim m(|f_n -f| > \epsilon) = 0$ (h all infinito) [...]
Ma anche cosi' fa schifo, le definizioni vanno scritte per bene (chi e' \(m\)? Chi e' h?).
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
[quote="gugo82"]Quella di convergenza in misura è giusta...
Well... no.
"AAnto":
in uno spazio metrico con misura, una successione $f_n$ di funzioni misurabili converge [strike]in norma[/strike] in misura a $f$, se $\forall \epsilon >0$ si ha $lim m(|f_n -f| > \epsilon) = 0$ (h all infinito) [...]
Ma anche cosi' fa schifo, le definizioni vanno scritte per bene (chi e' \(m\)? Chi e' h?).[/quote]
Well... Cosa ti costava chiedere ad OP di chiarire le notazioni e correggere gli evidenti errori di battitura?
Quelli di OP non sono "evidenti errori di battitura". Non ho idea di cosa siano, probabilmente appunti presi male e ricopiati peggio. Aprire un libro o delle dispense risolve tutte le perplessita', trattandosi di definizioni. La stanza e' quella di Analisi Superiore non quella delle scuole medie.
Come detto altrove: diverte vedere che c'è chi è più realista del re.
Contento tu...
Contento tu...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo