Dubbio sulla divergenza
Salve a tutti, ho non poche difficoltà a verificare la seguente relazione:
$\nabla*\vec Ee^(j\vec k*\vec r) = -j\vec k*\vec E$
dove $\vec E$, $\vec k$ e $\vec r$ sono dei vettori con componenti x,y, e z, ho provato a verificare il tutto manualmente ma mi incarto con le derivate e forse sbaglio procedimento, qualcuno mi sa aiutare?
$\nabla*\vec Ee^(j\vec k*\vec r) = -j\vec k*\vec E$
dove $\vec E$, $\vec k$ e $\vec r$ sono dei vettori con componenti x,y, e z, ho provato a verificare il tutto manualmente ma mi incarto con le derivate e forse sbaglio procedimento, qualcuno mi sa aiutare?
Risposte
Non credo che il problema sia scritto come si deve... Prova a postare un po' di conti.
Ciao cozzaciccio,
Come spesso accade, secondo me ha ragione gugo82...
Provo ad indovinare i termini della questione, che ho visto molto tempo fa in merito alle onde piane in un dielettrico, poi mi confermerai se ho indovinato o no...
Se nell'equazione delle onde ci limitiamo ad un'oscillazione di tipo armonico (dipendenza dal tempo del tipo $e^{j\omega t} $), la derivata seconda rispetto al tempo diviene $–\omega^2 \vec E $ e l'equazione per il campo elettrico diventa la seguente:
$ \nabla^2 \vec E + k^2 \vec E = 0 $
ove si è posto $k := \omega \sqrt{\epsilon \mu} $
Quest'ultima è detta equazione di Helmholtz vettoriale. Cerchiamo una soluzione costituita da un vettore complesso che ha una dipendenza dalle coordinate spaziali del tipo $e^{- j \vec k \cdot \vec r}$, cioè una soluzione del tipo seguente:
$ \vec E = \vec E_0 e^{- j \vec k \cdot \vec r}$
ove:
$\vec r = x \mathbf{i} + y \mathbf{j}+ z \mathbf{k}$ è il vettore che individua il punto di coordinate $x$, $y$, $z$;
$\vec k $ è un vettore tale che il suo modulo $\sqrt{k_x^2 + k_y^2 + k_z^2} = \omega \sqrt{\epsilon \mu} $;
$\vec E_0 $ è un vettore (in genere complesso) indipendente rispetto a $x$, $y$, $z$
È chiaro che, con $k := \omega \sqrt{\epsilon \mu} $, la $ \vec E = \vec E_0 e^{- j \vec k \cdot \vec r}$ è una soluzione dell'equazione di Helmholtz: basta eseguire le derivate seconde rispetto a $x$, $y$ e $z$ contenute in $\nabla^2 $ per verificarlo.
Per capire la forma di questa soluzione, si noti che $\vec k \cdot \vec r = kl $ individua la superficie di un piano $\Sigma $, luogo dei punti $P(x, y, z)$ per cui si ha appunto $ k_x x + k_y y + k_z z = k l $ costante. Cioè $\Sigma $ è un piano perpendicolare a $\vec k$, che dista dall'origine della quantità $l$, proiezione di $\vec r $ su $\vec k $. Ora si può notare che per funzioni la cui dipendenza da $x$, $y$ e $z$ ha la forma $e^{- j \vec k \cdot \vec r}$, con passaggi non difficili si ha:
$ \nabla \cdot \vec E = \nabla \cdot \vec E_0 e^{- j \vec k \cdot \vec r} = \vec E_0 \nabla \cdot e^{- j \vec k \cdot \vec r} = - j \vec k \cdot \vec E_0 e^{- j \vec k \cdot \vec r} = - j \vec k \cdot \vec E $
Poiché il mezzo è privo di cariche e di correnti, $ \nabla \cdot \vec E = 0 $ e quindi $\vec k \cdot vec E = 0$, cioè $\vec E $ è perpendicolare a $\vec k $.
Come spesso accade, secondo me ha ragione gugo82...
Provo ad indovinare i termini della questione, che ho visto molto tempo fa in merito alle onde piane in un dielettrico, poi mi confermerai se ho indovinato o no...
Se nell'equazione delle onde ci limitiamo ad un'oscillazione di tipo armonico (dipendenza dal tempo del tipo $e^{j\omega t} $), la derivata seconda rispetto al tempo diviene $–\omega^2 \vec E $ e l'equazione per il campo elettrico diventa la seguente:
$ \nabla^2 \vec E + k^2 \vec E = 0 $
ove si è posto $k := \omega \sqrt{\epsilon \mu} $
Quest'ultima è detta equazione di Helmholtz vettoriale. Cerchiamo una soluzione costituita da un vettore complesso che ha una dipendenza dalle coordinate spaziali del tipo $e^{- j \vec k \cdot \vec r}$, cioè una soluzione del tipo seguente:
$ \vec E = \vec E_0 e^{- j \vec k \cdot \vec r}$
ove:
$\vec r = x \mathbf{i} + y \mathbf{j}+ z \mathbf{k}$ è il vettore che individua il punto di coordinate $x$, $y$, $z$;
$\vec k $ è un vettore tale che il suo modulo $\sqrt{k_x^2 + k_y^2 + k_z^2} = \omega \sqrt{\epsilon \mu} $;
$\vec E_0 $ è un vettore (in genere complesso) indipendente rispetto a $x$, $y$, $z$
È chiaro che, con $k := \omega \sqrt{\epsilon \mu} $, la $ \vec E = \vec E_0 e^{- j \vec k \cdot \vec r}$ è una soluzione dell'equazione di Helmholtz: basta eseguire le derivate seconde rispetto a $x$, $y$ e $z$ contenute in $\nabla^2 $ per verificarlo.
Per capire la forma di questa soluzione, si noti che $\vec k \cdot \vec r = kl $ individua la superficie di un piano $\Sigma $, luogo dei punti $P(x, y, z)$ per cui si ha appunto $ k_x x + k_y y + k_z z = k l $ costante. Cioè $\Sigma $ è un piano perpendicolare a $\vec k$, che dista dall'origine della quantità $l$, proiezione di $\vec r $ su $\vec k $. Ora si può notare che per funzioni la cui dipendenza da $x$, $y$ e $z$ ha la forma $e^{- j \vec k \cdot \vec r}$, con passaggi non difficili si ha:
$ \nabla \cdot \vec E = \nabla \cdot \vec E_0 e^{- j \vec k \cdot \vec r} = \vec E_0 \nabla \cdot e^{- j \vec k \cdot \vec r} = - j \vec k \cdot \vec E_0 e^{- j \vec k \cdot \vec r} = - j \vec k \cdot \vec E $
Poiché il mezzo è privo di cariche e di correnti, $ \nabla \cdot \vec E = 0 $ e quindi $\vec k \cdot vec E = 0$, cioè $\vec E $ è perpendicolare a $\vec k $.
"pilloeffe":
Ciao cozzaciccio,
Come spesso accade, secondo me ha ragione gugo82...
Provo ad indovinare i termini della questione, che ho visto molto tempo fa in merito alle onde piane in un dielettrico, poi mi confermerai se ho indovinato o no...
Se nell'equazione delle onde ci limitiamo ad un'oscillazione di tipo armonico (dipendenza dal tempo del tipo $e^{j\omega t} $), la derivata seconda rispetto al tempo diviene $–\omega^2 \vec E $ e l'equazione per il campo elettrico diventa la seguente:
$ \nabla^2 \vec E + k^2 \vec E = 0 $
ove si è posto $k := \omega \sqrt{\epsilon \mu} $
Quest'ultima è detta equazione di Helmholtz vettoriale. Cerchiamo una soluzione costituita da un vettore complesso che ha una dipendenza dalle coordinate spaziali del tipo $e^{- j \vec k \cdot \vec r}$, cioè una soluzione del tipo seguente:
$ \vec E = \vec E_0 e^{- j \vec k \cdot \vec r}$
ove:
$\vec r = x \mathbf{i} + y \mathbf{j}+ z \mathbf{k}$ è il vettore che individua il punto di coordinate $x$, $y$, $z$;
$\vec k $ è un vettore tale che il suo modulo $\sqrt{k_x^2 + k_y^2 + k_z^2} = \omega \sqrt{\epsilon \mu} $;
$\vec E_0 $ è un vettore (in genere complesso) indipendente rispetto a $x$, $y$, $z$
È chiaro che, con $k := \omega \sqrt{\epsilon \mu} $, la $ \vec E = \vec E_0 e^{- j \vec k \cdot \vec r}$ è una soluzione dell'equazione di Helmholtz: basta eseguire le derivate seconde rispetto a $x$, $y$ e $z$ contenute in $\nabla^2 $ per verificarlo.
Per capire la forma di questa soluzione, si noti che $\vec k \cdot \vec r = kl $ individua la superficie di un piano $\Sigma $, luogo dei punti $P(x, y, z)$ per cui si ha appunto $ k_x x + k_y y + k_z z = k l $ costante. Cioè $\Sigma $ è un piano perpendicolare a $\vec k$, che dista dall'origine della quantità $l$, proiezione di $\vec r $ su $\vec k $. Ora si può notare che per funzioni la cui dipendenza da $x$, $y$ e $z$ ha la forma $e^{- j \vec k \cdot \vec r}$, con passaggi non difficili si ha:
$ \nabla \cdot \vec E = \nabla \cdot \vec E_0 e^{- j \vec k \cdot \vec r} = \vec E_0 \nabla \cdot e^{- j \vec k \cdot \vec r} = - j \vec k \cdot \vec E_0 e^{- j \vec k \cdot \vec r} = - j \vec k \cdot \vec E $
Poiché il mezzo è privo di cariche e di correnti, $ \nabla \cdot \vec E = 0 $ e quindi $\vec k \cdot vec E = 0$, cioè $\vec E $ è perpendicolare a $\vec k $.
Scusate se rispondo dopo un pò di tempo, intanto ti ringrazio per la spiegazione esaustiva, mi riferivo proprio a questo argomento da te illustrato, non ho postato tutto il ragionamento (che coincide con il tuo) perchè pensavo di andare off topic e di scrivere troppo rispetto al solo punto in cui ho difficoltà, ovvero l'ultimo, in cui ho ancora qualche dubbio.
Mi spiego meglio nell'ultimo passaggio da te descritto:
$\nabla \cdot \vec E_0 e^{- j \vec k \cdot \vec r} = \vec E_0 \nabla \cdot e^{- j \vec k \cdot \vec r}$
Visto che $\vec E_0$ dipende da x,y e z non si dovrebbe derivare anche questo?
Ti ringrazio nuovamente per la disponibilità e pazienza e mi scuso per la mia domanda "striminzita", la prossima volta sarò più completo ed esaustivo.
"cozzaciccio":
Visto che $\vec E_0 $ dipende da x,y e z non si dovrebbe derivare anche questo?
No, $\vec E_0 $ non dipende da $x$, $y $ e $z$:
"pilloeffe":
$ \vec E = \vec E_0 e^{- j \vec k \cdot \vec r} $
ove:
[...];
[...];
$\vec E_0 $ è un vettore (in genere complesso) indipendente rispetto a $x$, $y$, $z$
"pilloeffe":
[quote="cozzaciccio"]Visto che $\vec E_0 $ dipende da x,y e z non si dovrebbe derivare anche questo?
No, $\vec E_0 $ non dipende da $x$, $y $ e $z$:
"pilloeffe":[/quote]
$ \vec E = \vec E_0 e^{- j \vec k \cdot \vec r} $
ove:
[...];
[...];
$\vec E_0 $ è un vettore (in genere complesso) indipendente rispetto a $x$, $y$, $z$
Grazie del grande aiuto e della disponibilità, ho un ultimo dubbio, tu hai scritto che abbiamo un'equazione di Helmotz vettoriale e fin qui chiaro e che la soluzione è:
$ \vec E = \vec E_0 e^{- j \vec k \cdot \vec r} $
Il vettore costante $\vec E_0$ cosa rappresenta sostanzialmente?
Inoltre le soluzioni dell'equazione di Helmotz non dovrebbero essere due, con la seconda caratterizzata dallo stesso esponenziale ma con esponente avere segno opposto? Perchè si considera solo questa da te indicata?
"cozzaciccio":
Grazie del grande aiuto e della disponibilità
Prego!
"cozzaciccio":
Il vettore costante $\vec E_0 $ cosa rappresenta sostanzialmente?
Se le mie reminescenze di Campi Elettromagnetici e Circuiti I non mi ingannano rappresenta la polarizzazione del campo elettrico.
"cozzaciccio":
Inoltre le soluzioni dell'equazione di Helmoltz non dovrebbero essere due, con la seconda caratterizzata dallo stesso esponenziale ma con esponente avente segno opposto? Perchè si considera solo questa da te indicata?
Si tratta di una possibilità come un'altra, in generale direi che la soluzione dell'equazione di Helmoltz si può scrivere nel modo seguente:
$\vec E(\vec r) = \vecE_0^+ e^{- j \vec k \cdot \vec r} + \vecE_0^-\ e^{j \vec k \cdot \vec r} $
ove $ \vecE_0^+$ e $\vecE_0^- $ sono costanti arbitrarie che devono essere determinate con le condizioni al contorno.
Il secondo termine della relazione scritta poc'anzi rappresenta un'onda viaggiante con la stessa velocità nella direzione $-\vec k $ chiamata onda riflessa.
Per semplicità si può considerare la sola onda diretta supponendo che sia $\vecE_0^-\ = 0 $, anche se poi in presenza di discontinuità nel mezzo devono essere considerate anche le onde riflesse viaggianti nella direzione opposta.
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