Trasformata di Fourier del prodotto di convoluzione

[impe1]

Buonasera a tutti, non ho ben compreso una dimostrazione che ora vi mostro.

Proposizione:

Siano $f_1 in L^1(RR) , f_2 in L^1(RR)$

e sia $f= f_1 ** f_2$ il loro prodotto di convoluzione. Allora

$F(f)(xi) = F(f_1**f_2)(xi)= (F(f_1)(xi)) (F(f_2)(xi))$

Per dimostrare ciò si usa il teorema di Fubini

$F(f)(xi) = F(f_1**f_2)(xi)= int_(-oo)^(+oo) (int_(-oo)^(+oo) e^(-ixix)f_2(x-s) dx)f_1(s)ds $

$= int_(-oo)^(+oo) e^(-ixs)f_1(s)( int_(-oo)^(+oo) e^(-ixi(x-s))f_2(x-s) dx)ds $

$=( int_(-oo)^(+oo) e^(-ixs)f_1(s) ds) F(f_2)(xi)$

$= F(f_1)(xi) F(f_2)(xi)$

Non ho ben capito quest'ultimo passaggio. Come fa dal penultimo passaggio a giungere al risultato?

Come si fa a dire che

$( int_(-oo)^(+oo) e^(-ixs)f_1(s) ds)= F(f_1)(xi)$

Se non c'è nessuna variabile $xi$ ???

[gugo82]

Cos'è un nome variabile?
Un apostrofo rosa tra le parole che t'importa?...

[impe1]

"gugo82":Cos'è un nome variabile?
Un apostrofo rosa tra le parole che t'importa?...

$ ( int_(-oo)^(+oo) e^(-ixs)f_1(s) ds) $


qui all'esponente avrebbe dovuto scrivere $xi$ quindi anziché $x$...

mi faccio mille problemi anche sulle sottigliezze perché sto commettendo parecchi errori nel risolvere equazioni alle derivate parziali facendo uso delle trasformate..

[anonymous_b7df6f]

"gugo82":Cos'è un nome variabile?
Un apostrofo rosa tra le parole che t'importa?...

Eh insomma gugo...

se scrivessi

$f(x)= 1/(t^2 + t)$

ma in realtà intendevo scrivere

$f(x)=1/(x^2+x)$

Il nome della variabile conta eccome

[gugo82]

Nell'esponente dell'esponenziale c'è $xi$, non $x$... Guarda bene i calcoli.

[impe1]

Ah okay, è un semplice errore algebrico (o meglio, un errore di battitura sul libro)... sciocco io che non me ne sono accorto subito.

Semplicemente si moltiplica sotto l'integrale per $e^(ixis - ixis)$