Coefficienti di Fourier

[ronti1]

Ciao a tutti!

Ho una domanda che riguarda la serie di Fourier.

Consideriamo una funzione $f(x)$ , $f : RR rarr RR$

e la serie di Fourier ad essa associata

$f_F (x) =a_0/2 + sum_(n=1)^(+oo ) a_ncos(nx)+b_ncos(nx) $

Si consideri, per ogni $x$, il valore

$bar(f(x)) = 1/2 (f(x^+)+f(x^-))$

Con $(f(x^+))$ e $(f(x^-))$ che rappresentano rispettivamente il limite destro ed il limite sinistro della funzione per ogni $x$ designato.

Sapreste dirmi se la seguente frase è vera ?

"Dire che la serie dI Fourier converge puntualmente a $bar(f(x)$ equivale a dire che i coefficienti $a_n$ e $b_n$ sono dei numeri finiti per ogni $n$"

[dissonance]

Ma certo che no. È molto più complicato di così. Cerca "criterio di Dini", tanto per avere un esempio.

https://en.wikipedia.org/wiki/Dini_criterion

[ronti1]

Grazie dissonance.
Sto cercando le condizioni necessarie e sufficienti affinché ci sia convergenza puntuale a $bar (f (x)) $, sapresti darmi qualche dritta? Il mio libro non tratta l'argomento in modo esaustivo

[dissonance]

Il criterio più importante è quello di Dini, vedi link precedente. Condizioni necessarie e sufficienti in generale non ce ne sono, solo in casi particolari, come per esempio il caso di funzioni C^1 a tratti. Ma non sono cose proprio facilissime, ecco perché il libro tira via.

[ronti1]

Okkk Grazie ancora