[Esercizio] Trovare errore in una dimostrazione di Cauchy.
Nel Chapitre VI., 1er partie. Di Cours D'analyse di Cauchy c'è un teorema, che purtroppo è falso. Che è il seguente
Teorema
Quando i differenti termini della serie (1) sono delle funzioni di una variabile \(x\) continue in un intorno per la quale la serie è convergente, la somma \(s\) della serie è anch'essa una funzione continua in questo intorno.
1) Trovare un controesempio al teorema
2) Trovare l'errore nella dimostrazione di Cauchy
NB: Perdonate la traduzione dal francese, ma è un francese del 1821, e anche una dimostrazione del 1821. Quindi insomma... già è una struttura matematica diversa, in una lingua straniera di 200 anni fa e per di più c'è pure un errore.
Definizioni
Chiamiamo serie una successione indefinita di quantità
\[ u_0,u_1,u_2, u_3, \ldots \]
che derivano gli uni dagli altri secondo una certa legge.
Queste quantità sono esse stesse i diversi termini della serie che stiamo considerando. Sia
\[ s_n = u_0 + u_1 + \ldots + u_{n-1} \]
la somma dei primi \(n \) termini, dove \(n\) è un intero qualunque. Se, per tutti i valori di \(n\) crescenti, la somma \(s_n \) si avvicina indefinitivamente ad un certo limite \(s\), la serie sarà detta convergente e il limite in questione si chiamerà somma della serie. Al contrario, se, quando \(n\) cresce indefinitivamente, la somma \(s_n\) non si avvicina ad alcun limite fissato, la serie sarà divergente e non avrà una somma. In un caso o nell'altro i termini corrispondenti ad un indice \(n\), i.e. \(u_n\), saranno detti termini generali. È sufficiente che diamo questi termini generali in funzione dell'indice \(n\), per far sì che la serie sia completamente determinata.
[...]
Dopo questi principi stabiliti qui sopra, per far sì che la serie
\[ (1) \ \ \ \ u_0,u_1,u_2, u_3, \ldots \]
sia convergente, è necessario e sufficiente che dei valori crescenti di \(n\) facciano converge indefinitivamente la somma.
\[ s_n = u_0 + \ldots + u_{n-1} \]
verso un certo limite fissato \(s\). In altri termini, è necessario e sufficiente, che per dei valori infinitamente grandi di \(n\), le somme
\[ s_n , s_{n+1} , s_{n+2} , \ldots \]
differiscono dal limite \(s\), e di conseguenza tra di loro, di quantità infinitamente piccole.
[...]
Dimostrazione
La serie
\[ u_0, u_1,u_2,\ldots \]
essendo supposta convergente, se designiamo la sua somma per \(s\), e con \(s_n\) la somma dei primi \(n\) termini, troveremo che
\[ s= u_0 + u_1 + u_2 + \ldots + u_{n-1} + u_n + \ldots \]
\[ = s_n + u_n + u_{n+1} + \ldots \]
e per il seguito sia
\[ s- s_n = u_n + u_{n+1} + \ldots \]
da quest'ultima equazione segue che le quantita
\[ u_n, u_{n+1} , \ldots \]
formano una nuova serie convergente la cui somma sarà uguale a \(s-s_n \). Se rappresentiamo questa somma per \(r_n\), abbiamo che
\[ s = s_n + r_n \]
e \(r_n\) è chiamato resto della serie (1) a partire dal \(n\)-esimo termine.
Quando i termini della serie sono dipendenti da una stessa variabile \(x\), questa serie è convergente e i suoi differenti termini sono funzione continue di \(x\), in un intorno di un valore particolare attribuito a questa variabile.
\[ s_n, r_n , s \]
sono ancora tre funzioni della variabile \(x\), la cui prima è evidentemente continua in \(x\) in un intorno di questo valore particolare di cui si tratta. Posto questo, consideriamo l'accrescimento che ricevono queste tre funzioni quando facciamo crescere \(x\) di una quantità infinitesimamente piccola \( \epsilon \). L'accrescimento di \(s_n \) sarà, per tutti i valori possibili di \(n\), una quantità infinitamente piccola e quella di \(r_n\) diventerà "insensibile" nello stesso tempo di \(r_n\), se attribuiamo a \(n\) un valore molto considerevole. Segue che l'accrescimento della funzione \(s\) non potrà che essere una quantità infinitamente piccola. Da questo deduciamo immediatamente la proposizione seguente
Teorema
Quando i differenti termini della serie (1) sono delle funzioni di una variabile \(x\) continue in un intorno per la quale la serie è convergente, la somma \(s\) della serie è anch'essa una funzione continua in questo intorno.
Teorema
Quando i differenti termini della serie (1) sono delle funzioni di una variabile \(x\) continue in un intorno per la quale la serie è convergente, la somma \(s\) della serie è anch'essa una funzione continua in questo intorno.
1) Trovare un controesempio al teorema
2) Trovare l'errore nella dimostrazione di Cauchy
NB: Perdonate la traduzione dal francese, ma è un francese del 1821, e anche una dimostrazione del 1821. Quindi insomma... già è una struttura matematica diversa, in una lingua straniera di 200 anni fa e per di più c'è pure un errore.
Definizioni
Chiamiamo serie una successione indefinita di quantità
\[ u_0,u_1,u_2, u_3, \ldots \]
che derivano gli uni dagli altri secondo una certa legge.
Queste quantità sono esse stesse i diversi termini della serie che stiamo considerando. Sia
\[ s_n = u_0 + u_1 + \ldots + u_{n-1} \]
la somma dei primi \(n \) termini, dove \(n\) è un intero qualunque. Se, per tutti i valori di \(n\) crescenti, la somma \(s_n \) si avvicina indefinitivamente ad un certo limite \(s\), la serie sarà detta convergente e il limite in questione si chiamerà somma della serie. Al contrario, se, quando \(n\) cresce indefinitivamente, la somma \(s_n\) non si avvicina ad alcun limite fissato, la serie sarà divergente e non avrà una somma. In un caso o nell'altro i termini corrispondenti ad un indice \(n\), i.e. \(u_n\), saranno detti termini generali. È sufficiente che diamo questi termini generali in funzione dell'indice \(n\), per far sì che la serie sia completamente determinata.
[...]
Dopo questi principi stabiliti qui sopra, per far sì che la serie
\[ (1) \ \ \ \ u_0,u_1,u_2, u_3, \ldots \]
sia convergente, è necessario e sufficiente che dei valori crescenti di \(n\) facciano converge indefinitivamente la somma.
\[ s_n = u_0 + \ldots + u_{n-1} \]
verso un certo limite fissato \(s\). In altri termini, è necessario e sufficiente, che per dei valori infinitamente grandi di \(n\), le somme
\[ s_n , s_{n+1} , s_{n+2} , \ldots \]
differiscono dal limite \(s\), e di conseguenza tra di loro, di quantità infinitamente piccole.
[...]
Dimostrazione
La serie
\[ u_0, u_1,u_2,\ldots \]
essendo supposta convergente, se designiamo la sua somma per \(s\), e con \(s_n\) la somma dei primi \(n\) termini, troveremo che
\[ s= u_0 + u_1 + u_2 + \ldots + u_{n-1} + u_n + \ldots \]
\[ = s_n + u_n + u_{n+1} + \ldots \]
e per il seguito sia
\[ s- s_n = u_n + u_{n+1} + \ldots \]
da quest'ultima equazione segue che le quantita
\[ u_n, u_{n+1} , \ldots \]
formano una nuova serie convergente la cui somma sarà uguale a \(s-s_n \). Se rappresentiamo questa somma per \(r_n\), abbiamo che
\[ s = s_n + r_n \]
e \(r_n\) è chiamato resto della serie (1) a partire dal \(n\)-esimo termine.
Quando i termini della serie sono dipendenti da una stessa variabile \(x\), questa serie è convergente e i suoi differenti termini sono funzione continue di \(x\), in un intorno di un valore particolare attribuito a questa variabile.
\[ s_n, r_n , s \]
sono ancora tre funzioni della variabile \(x\), la cui prima è evidentemente continua in \(x\) in un intorno di questo valore particolare di cui si tratta. Posto questo, consideriamo l'accrescimento che ricevono queste tre funzioni quando facciamo crescere \(x\) di una quantità infinitesimamente piccola \( \epsilon \). L'accrescimento di \(s_n \) sarà, per tutti i valori possibili di \(n\), una quantità infinitamente piccola e quella di \(r_n\) diventerà "insensibile" nello stesso tempo di \(r_n\), se attribuiamo a \(n\) un valore molto considerevole. Segue che l'accrescimento della funzione \(s\) non potrà che essere una quantità infinitamente piccola. Da questo deduciamo immediatamente la proposizione seguente
Teorema
Quando i differenti termini della serie (1) sono delle funzioni di una variabile \(x\) continue in un intorno per la quale la serie è convergente, la somma \(s\) della serie è anch'essa una funzione continua in questo intorno.
Risposte
Ciao 3mo0! Che cose interessanti e difficili che vai a scovare!
Questo è un famoso errore di Cauchy su cui è stato versato parecchio inchiostro, ed è stato anche al centro di una controversia, iniziata da Robinson, quello dell'analisi non standard.
Esiste anche un controesempio famoso nella storia della matematica.
Non posto controesempi, perché barerei, li ho letti.
Però mi pare che ci manca un pezzetto, nel teorema che hai riportato, rispetto all'originale.
Lo dico perché c'è un particolare che ho notato in questo teorema, che è l'unica osservazione che è farina del mio sacco.
Dove dice "continue in un intorno' ci manca (almeno rispetto al testo che ho io) "di un valore particolare" per il quale la serie è convergente, etc. etc.
Questo è un famoso errore di Cauchy su cui è stato versato parecchio inchiostro, ed è stato anche al centro di una controversia, iniziata da Robinson, quello dell'analisi non standard.
Esiste anche un controesempio famoso nella storia della matematica.
Non posto controesempi, perché barerei, li ho letti.
Però mi pare che ci manca un pezzetto, nel teorema che hai riportato, rispetto all'originale.
Lo dico perché c'è un particolare che ho notato in questo teorema, che è l'unica osservazione che è farina del mio sacco.
Dove dice "continue in un intorno' ci manca (almeno rispetto al testo che ho io) "di un valore particolare" per il quale la serie è convergente, etc. etc.
"gabriella127":
Però mi pare che ci manca un pezzetto, nel teorema che hai riportato, rispetto all'originale.
Lo dico perché c'è un particolare che ho notato in questo teorema, che è l'unica osservazione che è farina del mio sacco.
Dove dice "continue in un intorno' ci manca (almeno rispetto al testo che ho io) "di un valore particolare" per il quale la serie è convergente, etc. etc.
Teorema
Quando i differenti termini della serie (1) sono delle funzioni di una variabile \(x\) continue in un intorno per la quale la serie è convergente, la somma \(s\) della serie è anch'essa una funzione continua in questo intorno.
Hai ragione, è che il pdf che possiedo va a capo proprio a metà frase e mentre lo stavo traducendo direttamente su matematicamente con la finestra del browser in piccolo mi è saltato l'occhio e non ho visto quella frase.
Teorema
Quando i differenti termini della serie (1) sono delle funzioni della stessa variabile \(x\), continue per rapporto a questa variabile in un intorno di un valore particolare per la quale la serie è convergente, la somma \(s\) della serie è anch'essa una funzione continua in \(x\), in un intorno dello stesso valore particolare.
"gabriella127":
Ciao 3mo0! Che cose interessanti e difficili che vai a scovare!
Questo è un famoso errore di Cauchy su cui è stato versato parecchio inchiostro, ed è stato anche al centro di una controversia, iniziata da Robinson, quello dell'analisi non standard.
Esiste anche un controesempio famoso nella storia della matematica.
Non posto controesempi, perché barerei, li ho letti.
Non sapevo ci avessero versato parecchio inchiostro, io l'ho scoperto oggi a dire il vero. Per l'esempio ti riferisci a quello di Abel?
Yes, quello di Abel.
Bella domanda, perfetto esempio di una buona discussione adatta a questo forum. È difficile trovare l'errore nello scritto di Cauchy perché, come già detto da 3m0o, è un tipo di matematica completamente diversa da quella attuale. Ma si possono dare dei controesempi concreti. La funzione
\[
f(x)=\begin{cases}
1, & x>0, \\
1/2, & x=0, \\
0, & x<0,
\end{cases}
\]
non è certamente continua. Ma essa è il limite della serie di Fourier
\[\tag{1}
\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^\infty \frac{1-(-1)^n}{2\pi n} \sin(nx), \quad \forall x\in(-\pi, \pi).\]
In realtà non sarebbe stato necessario scrivere esplicitamente la serie, ma ho pensato di farlo comunque, così da mostrare che si tratta di un esempio relativamente semplice, e soprattutto esplicito. Ad ogni modo la cosa veramente importante è che tutti gli addendi siano funzioni continue, e questo è evidente.
La dimostrazione che (1) converge in tutti i punti a \(f(x)\) è conseguenza del fatto che \(f\) è una funzione a variazione limitata; infatti, la variazione totale di \(f\) è 1. Le serie di Fourier delle funzioni a variazione limitata convergono in tutti i punti, come detto qui: https://en.wikipedia.org/wiki/Convergen ... onvergence (purtroppo non c'è la dimostrazione, che non è proprio ovvia. Si può trovare sul libro di analisi armonica di Katznelson, pag.82. Mi sarebbe piaciuto scrivere una dimostrazione diretta, adattata a questo esempio, ma mi sono reso conto che mi avrebbe portato via troppo tempo).
\[
f(x)=\begin{cases}
1, & x>0, \\
1/2, & x=0, \\
0, & x<0,
\end{cases}
\]
non è certamente continua. Ma essa è il limite della serie di Fourier
\[\tag{1}
\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^\infty \frac{1-(-1)^n}{2\pi n} \sin(nx), \quad \forall x\in(-\pi, \pi).\]
In realtà non sarebbe stato necessario scrivere esplicitamente la serie, ma ho pensato di farlo comunque, così da mostrare che si tratta di un esempio relativamente semplice, e soprattutto esplicito. Ad ogni modo la cosa veramente importante è che tutti gli addendi siano funzioni continue, e questo è evidente.
La dimostrazione che (1) converge in tutti i punti a \(f(x)\) è conseguenza del fatto che \(f\) è una funzione a variazione limitata; infatti, la variazione totale di \(f\) è 1. Le serie di Fourier delle funzioni a variazione limitata convergono in tutti i punti, come detto qui: https://en.wikipedia.org/wiki/Convergen ... onvergence (purtroppo non c'è la dimostrazione, che non è proprio ovvia. Si può trovare sul libro di analisi armonica di Katznelson, pag.82. Mi sarebbe piaciuto scrivere una dimostrazione diretta, adattata a questo esempio, ma mi sono reso conto che mi avrebbe portato via troppo tempo).
Questo video di 3Blue1Brown è molto meglio di una dimostrazione formale:
https://youtu.be/r6sGWTCMz2k?t=5
Il link punta al minuto 5, quando si parla di una funzione a scalino molto simile a quella del mio post precedente. Ma tutto il video è molto bello e profondo.
https://youtu.be/r6sGWTCMz2k?t=5
Il link punta al minuto 5, quando si parla di una funzione a scalino molto simile a quella del mio post precedente. Ma tutto il video è molto bello e profondo.
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