Le iterate di un certo operatore differenziale
Supponiamo di avere un anello differenziale \((R,\partial)\) (va bene considerare \(R=K[X]\) o \(K[\![X]\!]\) con la derivazione univocamente determinata da \(X\mapsto 1\)), e un operatore differenziale della forma
\[
Y\mapsto a_n Y^{(n)} + a_{n-1}Y^{(n-1)} + \dots + a_1 Y' + a_0 Y
\] dove \(Y'=\partial \), \(Y^{(k)}=\partial^k Y\) e le \(a_i\) non sono necessariamente costanti (in \(R=K[X]\) o \(K[\![X]\!]\) sono a loro volta polinomi o serie).
Evidentemente, questo operatore differenziale è un'endofunzione $F$ di $R$: quindi si possono considerare le iterate di $F$ e studiarne la "convergenza" in un qualche senso (dare un senso alla cosa dipende un po' da come lo si vuole fare: supponiamo di averlo fatto): fissato un certo \(\bar Y \in R\), consideriamo
\[ \{\bar Y , F\bar Y , FF\bar Y, \dots, F^n \bar Y\} \]...Dove viene studiato questo problema? Qual è un risultato strutturale caratteristico sull'esistenza/comportamento del "limite" \(F^\infty \bar Y\)?
Già per \(R=K[X]\) o \(K[\![X]\!]\) e per scelte di operatori particolarmente semplici, come ad esempio \(FY = aY' + b\) o \(FY = Y' + a Y\), al variare di \(a,b\in R\), si ottengono delle equazioni ricorsive un po' complicate. Però mi sembra evidente che un problema simile debba essere stato studiato da qualcuno, in qualche forma.
\[
Y\mapsto a_n Y^{(n)} + a_{n-1}Y^{(n-1)} + \dots + a_1 Y' + a_0 Y
\] dove \(Y'=\partial \), \(Y^{(k)}=\partial^k Y\) e le \(a_i\) non sono necessariamente costanti (in \(R=K[X]\) o \(K[\![X]\!]\) sono a loro volta polinomi o serie).
Evidentemente, questo operatore differenziale è un'endofunzione $F$ di $R$: quindi si possono considerare le iterate di $F$ e studiarne la "convergenza" in un qualche senso (dare un senso alla cosa dipende un po' da come lo si vuole fare: supponiamo di averlo fatto): fissato un certo \(\bar Y \in R\), consideriamo
\[ \{\bar Y , F\bar Y , FF\bar Y, \dots, F^n \bar Y\} \]...Dove viene studiato questo problema? Qual è un risultato strutturale caratteristico sull'esistenza/comportamento del "limite" \(F^\infty \bar Y\)?
Già per \(R=K[X]\) o \(K[\![X]\!]\) e per scelte di operatori particolarmente semplici, come ad esempio \(FY = aY' + b\) o \(FY = Y' + a Y\), al variare di \(a,b\in R\), si ottengono delle equazioni ricorsive un po' complicate. Però mi sembra evidente che un problema simile debba essere stato studiato da qualcuno, in qualche forma.
Risposte
Credo che questo sia un fulgido esempio di quelli che uno dei nostri amici categoristi soleva chiamare "conti che hanno schifato generazioni di matematici". 
[nota]Il che mi riporta alla mente un famoso detto sullo sputare verso l'alto... 
[/nota]
Ad ogni buon conto: boh!
Credo siano conti che quasi nessun analista fa da qualche decina di lustri...
[nota]Il che mi riporta alla mente un famoso detto sullo sputare verso l'alto... [/nota]Ad ogni buon conto: boh!
Credo siano conti che quasi nessun analista fa da qualche decina di lustri...
No, se serve sputo in faccia, non verso l'alto. Come i lama (tibetani, non gli animali).
Comunque, questo problema è più pertinente alla combinatoria che all'analisi, ma qui la suddivisione in classi di argomenti è persino peggio della suddivisione in classi di concorso degli atenei, quindi dovendo scegliere ho sospettato fosse qualcosa più vicino al lessico degli analisti.
Il problema, ovviamente, non coinvolge gli anelli differenziali, ma una classe di categorie che si comportano circa allo stesso modo, un fulgido esempio delle quali è la categoria delle "specie combinatorie", ossia dei funtori \(f : \mathsf{Bij} \to \mathsf{Set}\) che mandano un insieme finito \(A\) in un altro insieme finito \(fA\) e una biiezione \(A\to A'\) in una biiezione \(fA \to fA'\); molte dimostrazioni combinatorie che esibiscono una biiezione tra due quantità stanno in realtà esibendo un isomorfismo naturale tra due specie combinatorie \(f\cong g\). Quindi, capire le specie combinatorie è interessante, ad esempio, per capire le dimostrazioni per double counting.
Questi aggeggi categorificano le funzioni generatrici, nel senso che si può usare la specie \(f\) per definire una serie formale \(\sum_n |f(n)| X^n\) (le barrette significano "cardinalità", ed \(n\) è un insieme con n elementi). Non solo: sulla categoria delle specie esiste un funtore di derivazione \(\partial\), che è "lineare e Leibniz" nel senso ovvio, e alla specie derivata si associa esattamente la derivata formale della sua serie.
Ora, è interessante studiare "equazioni differenziali" nell'anello delle specie, ossia equazioni della forma \(\partial X = R(X)\), dove R è una funzione (diciamo polinomiale) di X, e se necessario, assumendo che la soluzione \(F\) soddisfi una "condizione iniziale" tipo \(F(\varnothing)=\varnothing\).
Ad esempio, per ogni intero \(k\ge 1\), la specie \(t : A \mapsto \{1,\dots, k\}\) che manda ogni insieme finito in un insieme con k elementi è una soluzione dell'equazione differenziale \(\partial F = k\cdot F\), dove \(k \cdot F = F + \dots + F\); la serie generatrice associata è quella che converge a \(e^{kt}\); più suggestiva è la soluzione generale di un'equazione della forma \(\partial F = G\), il cui "integrale generale" è della forma \(T + \int G\), dove \(T\) è una qualsiasi soluzione di \(\partial T = \varnothing\) e \(\int G\) si scrive come una serie
\[ \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} E_k \partial^{k-1} G. \] Il problema (ma è anche la parte interessante) è che esistono un numero infinito numerabile di soluzioni non costanti a \(\partial T=\varnothing\), sicché due "primitive" di una stessa specie non differiscono per una costante, e non è nemmeno controllabile il "diametro" della loro differenza, che cresce arbitrariamente.
Lo studio generale delle equazioni differenziali a valori nelle specie ha attratto un certo numero di combinatorialisti (?), motivati dal fatto che è equivalente studiare
1. I coefficienti della serie di Taylor di \(t\mapsto \frac{2}{\cosh t}\);
2. Il numero delle permutazioni alternanti di \(n\) elementi;
3. La soluzione del sistema di equazioni differenziali
\[\begin{cases} \partial Y = 1 + Y^2 \\ Y(\varnothing) = \varnothing \\ \partial Z = YZ \\ Z(\varnothing) = 1\end{cases}\] (questo recupera i numeri di Eulero a indici rispettivamente dispari e pari).
Esiste una letteratura abbastanza vasta in merito: questa è una piccola parte
In particolare è interessante l'ultimo, che trova un significato combinatorio al metodo di Newton-Raphson basato su una formulazione del teorema di Dini categorificato. Una cosa che reputo moderatamente interessante, perché hey, tu sapevi che il metodo di Newton-Raphson ha un significato combinatorio?
Ad un analista, sospetto questo genere di equazione differenziale sia familiare, così come sospetto che possa trovare una maniera analitica di studiare l'orbita delle iterate di un operatore differenziale sufficientemente semplice.
Ora, quello che vorrei fare io, dato che recentemente ho iniziato a studiare il problema in un contesto più generale (la categoria delle specie è un esempio importante di "2-anello differenziale"), è avere un minimo di contezza riguardo alla possibilità di risolvere questi sistemi di equazioni, sfruttando semplicemente delle proprietà formali di \(\partial\).
Come puoi vedere, questa domanda non nasce dal mero desiderio di "vedere quanto fa" (come succede, spesso e volentieri, ad altri). C'è una storia e una vastità di competenze, e sotterranea a tutto una volontà di unificazione che è emblematica del pensiero strutturale, e che mi dispiace tu non abbia il gusto musicale per apprezzare.
Comunque, questo problema è più pertinente alla combinatoria che all'analisi, ma qui la suddivisione in classi di argomenti è persino peggio della suddivisione in classi di concorso degli atenei, quindi dovendo scegliere ho sospettato fosse qualcosa più vicino al lessico degli analisti.
Il problema, ovviamente, non coinvolge gli anelli differenziali, ma una classe di categorie che si comportano circa allo stesso modo, un fulgido esempio delle quali è la categoria delle "specie combinatorie", ossia dei funtori \(f : \mathsf{Bij} \to \mathsf{Set}\) che mandano un insieme finito \(A\) in un altro insieme finito \(fA\) e una biiezione \(A\to A'\) in una biiezione \(fA \to fA'\); molte dimostrazioni combinatorie che esibiscono una biiezione tra due quantità stanno in realtà esibendo un isomorfismo naturale tra due specie combinatorie \(f\cong g\). Quindi, capire le specie combinatorie è interessante, ad esempio, per capire le dimostrazioni per double counting.
Questi aggeggi categorificano le funzioni generatrici, nel senso che si può usare la specie \(f\) per definire una serie formale \(\sum_n |f(n)| X^n\) (le barrette significano "cardinalità", ed \(n\) è un insieme con n elementi). Non solo: sulla categoria delle specie esiste un funtore di derivazione \(\partial\), che è "lineare e Leibniz" nel senso ovvio, e alla specie derivata si associa esattamente la derivata formale della sua serie.
Ora, è interessante studiare "equazioni differenziali" nell'anello delle specie, ossia equazioni della forma \(\partial X = R(X)\), dove R è una funzione (diciamo polinomiale) di X, e se necessario, assumendo che la soluzione \(F\) soddisfi una "condizione iniziale" tipo \(F(\varnothing)=\varnothing\).
Ad esempio, per ogni intero \(k\ge 1\), la specie \(t : A \mapsto \{1,\dots, k\}\) che manda ogni insieme finito in un insieme con k elementi è una soluzione dell'equazione differenziale \(\partial F = k\cdot F\), dove \(k \cdot F = F + \dots + F\); la serie generatrice associata è quella che converge a \(e^{kt}\); più suggestiva è la soluzione generale di un'equazione della forma \(\partial F = G\), il cui "integrale generale" è della forma \(T + \int G\), dove \(T\) è una qualsiasi soluzione di \(\partial T = \varnothing\) e \(\int G\) si scrive come una serie
\[ \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} E_k \partial^{k-1} G. \] Il problema (ma è anche la parte interessante) è che esistono un numero infinito numerabile di soluzioni non costanti a \(\partial T=\varnothing\), sicché due "primitive" di una stessa specie non differiscono per una costante, e non è nemmeno controllabile il "diametro" della loro differenza, che cresce arbitrariamente.
Lo studio generale delle equazioni differenziali a valori nelle specie ha attratto un certo numero di combinatorialisti (?), motivati dal fatto che è equivalente studiare
1. I coefficienti della serie di Taylor di \(t\mapsto \frac{2}{\cosh t}\);
2. Il numero delle permutazioni alternanti di \(n\) elementi;
3. La soluzione del sistema di equazioni differenziali
\[\begin{cases} \partial Y = 1 + Y^2 \\ Y(\varnothing) = \varnothing \\ \partial Z = YZ \\ Z(\varnothing) = 1\end{cases}\] (questo recupera i numeri di Eulero a indici rispettivamente dispari e pari).
Esiste una letteratura abbastanza vasta in merito: questa è una piccola parte
In particolare è interessante l'ultimo, che trova un significato combinatorio al metodo di Newton-Raphson basato su una formulazione del teorema di Dini categorificato. Una cosa che reputo moderatamente interessante, perché hey, tu sapevi che il metodo di Newton-Raphson ha un significato combinatorio?
Ad un analista, sospetto questo genere di equazione differenziale sia familiare, così come sospetto che possa trovare una maniera analitica di studiare l'orbita delle iterate di un operatore differenziale sufficientemente semplice.
Ora, quello che vorrei fare io, dato che recentemente ho iniziato a studiare il problema in un contesto più generale (la categoria delle specie è un esempio importante di "2-anello differenziale"), è avere un minimo di contezza riguardo alla possibilità di risolvere questi sistemi di equazioni, sfruttando semplicemente delle proprietà formali di \(\partial\).
Come puoi vedere, questa domanda non nasce dal mero desiderio di "vedere quanto fa" (come succede, spesso e volentieri, ad altri). C'è una storia e una vastità di competenze, e sotterranea a tutto una volontà di unificazione che è emblematica del pensiero strutturale, e che mi dispiace tu non abbia il gusto musicale per apprezzare.
"fulcanelli":
C'è una storia e una vastità di competenze, e sotterranea a tutto una volontà di unificazione che è emblematica del pensiero strutturale, e che mi dispiace tu non abbia il gusto musicale per apprezzare.
In verità apprezzo. E ti ringrazio per l'excursus.
Quello che apprezzo molto, molto meno è -come al solito- la considerazione del lavoro degli altri che traspare dal passaggio immediatamente precedente:
"fulcanelli":
Come puoi vedere, questa domanda non nasce dal mero desiderio di "vedere quanto fa" (come succede, spesso e volentieri, ad altri).
il che conferma l'altro vecchio detto che si usa dalle mie parti, quello del rum e del babà.
Per una volta che non parlavo di te. Non mi riferivo a una persona, ma a un cattivo costume. Quello che intendo è che troppo spesso la motivazione dietro un problema è "vediamo se questo conto viene", e non c'è molta visione d'insieme.
Lo stato dell'accademia che costringe a una produzione bulimica (mangia, e poi vomita quasi subito dopo) non aiuta, e la possibilità/necessità di mettere a disposizione (su arXiv et al) della comunità il proprio lavoro il giorno stesso in cui lo si finisce aiuta ancora meno. La scarsa considerazione quindi è per il lavoro di alcuni, ma anche per il Moloch dell'accademia nel suo complesso.
[ot]Visto che stiamo parlando di detti popolari, non lontano dal mio paese natale si dice "a casa tua i maneghi de scoa i sa da merda" per significare che per noia o stupidità, le persone tendono a indulgere in giochi poco edificanti, con ciò che trovano in casa.
Non è riferito a questa conversazione (oddio, spero; non so te quanto ti annoi in lockdown), ma lo trovo ugualmente raffinato in termini di astrazione di "miett semp l'uoglio 'a copp' o pretto" [che è un peccato in cui indulgiamo entrambi, mi pare], e l'origine del detto -come sempre- è indicativa della fibra culturale di un popolo.[/ot]
Se vuoi ora parliamo del resto, tanto questa conversazione si risolverà in un dialogo mi pare.
Lo stato dell'accademia che costringe a una produzione bulimica (mangia, e poi vomita quasi subito dopo) non aiuta, e la possibilità/necessità di mettere a disposizione (su arXiv et al) della comunità il proprio lavoro il giorno stesso in cui lo si finisce aiuta ancora meno. La scarsa considerazione quindi è per il lavoro di alcuni, ma anche per il Moloch dell'accademia nel suo complesso.
[ot]Visto che stiamo parlando di detti popolari, non lontano dal mio paese natale si dice "a casa tua i maneghi de scoa i sa da merda" per significare che per noia o stupidità, le persone tendono a indulgere in giochi poco edificanti, con ciò che trovano in casa.
Non è riferito a questa conversazione (oddio, spero; non so te quanto ti annoi in lockdown), ma lo trovo ugualmente raffinato in termini di astrazione di "miett semp l'uoglio 'a copp' o pretto" [che è un peccato in cui indulgiamo entrambi, mi pare], e l'origine del detto -come sempre- è indicativa della fibra culturale di un popolo.[/ot]
Se vuoi ora parliamo del resto, tanto questa conversazione si risolverà in un dialogo mi pare.
Io avevo notato questa discussione e stavo per partire con un discorso di trasformata di Fourier, che diagonalizza le derivate e riduce questo problema a un problema algebrico, un po' come qui. In fondo è quello che avrebbe fatto Heaviside, con il suo calcolo operativo (o come si chiama).
Non so se in questa generalità esista una trasformata di Fourier. Sospetto di no. A meno che l'anello differenziale non abbia struttura di gruppo localmente compatto. In tal caso si finisce nell'analisi armonica astratta. Mi fermo perché in realtà non so davvero cosa sto dicendo.
Non so se in questa generalità esista una trasformata di Fourier. Sospetto di no. A meno che l'anello differenziale non abbia struttura di gruppo localmente compatto. In tal caso si finisce nell'analisi armonica astratta. Mi fermo perché in realtà non so davvero cosa sto dicendo.
Non credo l'analisi di Fourier faccia al caso mio, ma dimmi di più (ho una conoscenza relativamente superficiale della materia, che viene un po' dalla -poca- teoria della rappresentazione che ho studiato, e un altro po' dalle voci di corridoio).
Intanto, permettimi di fare degli esempi concreti: considera due elementi dell'anello \(a,b\in R[\![ t]\!]\) e l'operatore differenziale \(D : X\mapsto aX'+b\); allora le iterate di D si comportano così sull'orbita di 1:
\[\begin{array}{l} 1 \\ b \\ a b'+b \\ a a' b'+a^2 b''+a b'+b \\ a^2 a'' b'+3 a^2 a' b''+a a'^2 b'+a a' b'+a^3 b^{(3)}+a^2 b''+a b'+b \\ a^{(3)} a^3 b'+4 a^3 a'' b''+a^2 a'' b'+6 a^3 b^{(3)} a'+7 a^2 a'^2 b''+3 a^2 a' b''+a a'^3 b'+a a'^2 b'+a a' b'+4 a^2 a' a'' b'+a^4 b^{(4)}+a^3 b^{(3)}+a^2 b''+a b'+b \\ \end{array}\]
E qualcosa di simile accade con l'operatore differenziale che manda X in \(X'+bX\):
\[\begin{array}{l} 1 \\ b \\ b'+b^2 \\ b''+3 b b'+b^3 \\ b^{(3)}+4 b b''+6 b^2 b'+3 b'^2+b^4 \\ b^{(4)}+5 b^{(3)} b+10 b^2 b''+10 b^3 b'+15 b b'^2+10 b' b''+b^5 \\ b^{(5)}+6 b^{(4)} b+15 b^{(3)} b^2+20 b^3 b''+10 b''^2+15 b^4 b'+45 b^2 b'^2+15 b'^3+15 b^{(3)} b'+60 b b' b''+b^6 \\ b^{(6)}+7 b^{(5)} b+21 b^{(4)} b^2+35 b^{(3)} b^3+35 b^4 b''+70 b b''^2+21 b^5 b'+105 b^3 b'^2+105 b b'^3+21 b^{(4)} b'+35 b^{(3)} b''+105 b^{(3)} b b'+210 b^2 b' b''+105 b'^2 b''+b^7 \\ \end{array}\] Alcuni di questi coefficienti appaiono in https://oeis.org/A080575 , si tratta di certi coefficienti multinomiali. Chiaramente non ho idea di cosa stia succedendo, mi serve più potenza di fuoco, e un fatto concettule che associ alle iterate di un operatore una successione di coefficienti e/o una formula chiusa per generarli.
Intanto, permettimi di fare degli esempi concreti: considera due elementi dell'anello \(a,b\in R[\![ t]\!]\) e l'operatore differenziale \(D : X\mapsto aX'+b\); allora le iterate di D si comportano così sull'orbita di 1:
\[\begin{array}{l} 1 \\ b \\ a b'+b \\ a a' b'+a^2 b''+a b'+b \\ a^2 a'' b'+3 a^2 a' b''+a a'^2 b'+a a' b'+a^3 b^{(3)}+a^2 b''+a b'+b \\ a^{(3)} a^3 b'+4 a^3 a'' b''+a^2 a'' b'+6 a^3 b^{(3)} a'+7 a^2 a'^2 b''+3 a^2 a' b''+a a'^3 b'+a a'^2 b'+a a' b'+4 a^2 a' a'' b'+a^4 b^{(4)}+a^3 b^{(3)}+a^2 b''+a b'+b \\ \end{array}\]
E qualcosa di simile accade con l'operatore differenziale che manda X in \(X'+bX\):
\[\begin{array}{l} 1 \\ b \\ b'+b^2 \\ b''+3 b b'+b^3 \\ b^{(3)}+4 b b''+6 b^2 b'+3 b'^2+b^4 \\ b^{(4)}+5 b^{(3)} b+10 b^2 b''+10 b^3 b'+15 b b'^2+10 b' b''+b^5 \\ b^{(5)}+6 b^{(4)} b+15 b^{(3)} b^2+20 b^3 b''+10 b''^2+15 b^4 b'+45 b^2 b'^2+15 b'^3+15 b^{(3)} b'+60 b b' b''+b^6 \\ b^{(6)}+7 b^{(5)} b+21 b^{(4)} b^2+35 b^{(3)} b^3+35 b^4 b''+70 b b''^2+21 b^5 b'+105 b^3 b'^2+105 b b'^3+21 b^{(4)} b'+35 b^{(3)} b''+105 b^{(3)} b b'+210 b^2 b' b''+105 b'^2 b''+b^7 \\ \end{array}\] Alcuni di questi coefficienti appaiono in https://oeis.org/A080575 , si tratta di certi coefficienti multinomiali. Chiaramente non ho idea di cosa stia succedendo, mi serve più potenza di fuoco, e un fatto concettule che associ alle iterate di un operatore una successione di coefficienti e/o una formula chiusa per generarli.
Oh, dimenticavo, ho scelto queste due equazioni differenziali perché hanno delle soluzioni "esprimibili in forma chiusa".
Quello che interessa a me, infatti, è quanto segue: cerco soluzioni alle equazioni differenziali
\[aY'+b = Y \qquad Y'+bY=Y\] con la differenza (per voi irrilevante, credo) che per me \(Y,a,b\) sono oggetti di una categoria dove le operazioni di somma, prodotto e differenziazione formale hanno tutte senso e si comportano come uno vorrebbe (ho scritto un paper apposta per mostrare che questo accade).
Ora: la seconda equazione ha per soluzione non-nulla la serie formale \(\exp(1-b)\), come si evince dal fatto che \(\frac{Y'}{Y}=1-b\) e da qui, integrando ad ambo i lati, si ha \(Y=\exp(1-b)\).
La prima equazione è leggermente più complicata, e chiede di dissacrare la teoria con una bestemmia maggiore. Maneggiando \(aY'+b=Y\) si ottiene \((1-aD)Y=b\) e quindi \(Y = (1-aD)^{-1}b\), a patto che l'espressione abbia senso. L'espressione ora "ha senso" nella misura in cui posso espandere in serie la "soluzione"
\[ Y = \sum_{k=0}^\infty (aD)^kb\] tenendo conto della non commutatività di \(a,D\).
Quello che interessa a me, infatti, è quanto segue: cerco soluzioni alle equazioni differenziali
\[aY'+b = Y \qquad Y'+bY=Y\] con la differenza (per voi irrilevante, credo) che per me \(Y,a,b\) sono oggetti di una categoria dove le operazioni di somma, prodotto e differenziazione formale hanno tutte senso e si comportano come uno vorrebbe (ho scritto un paper apposta per mostrare che questo accade).
Ora: la seconda equazione ha per soluzione non-nulla la serie formale \(\exp(1-b)\), come si evince dal fatto che \(\frac{Y'}{Y}=1-b\) e da qui, integrando ad ambo i lati, si ha \(Y=\exp(1-b)\).
La prima equazione è leggermente più complicata, e chiede di dissacrare la teoria con una bestemmia maggiore. Maneggiando \(aY'+b=Y\) si ottiene \((1-aD)Y=b\) e quindi \(Y = (1-aD)^{-1}b\), a patto che l'espressione abbia senso. L'espressione ora "ha senso" nella misura in cui posso espandere in serie la "soluzione"
\[ Y = \sum_{k=0}^\infty (aD)^kb\] tenendo conto della non commutatività di \(a,D\).
Secondo me questa roba qui è molto rilevante:
https://physics.stackexchange.com/quest ... -operators
Per esempio, il secondo operatore nel tuo esempio si può riscrivere come \(\frac{d}{dx}+b\), e tu stai calcolando
\[
\left( \frac{d}{dx} + b\right)^n 1.\]
Quindi puoi applicare le formule del post che ho linkato con \(\hat A=\frac{d}{dx}, \hat B=b\). Per esempio,
\[
\left( \frac{d}{dx} + b\right)^2 1 = \left( \frac{d^2}{dx^2} + \frac{db}{dx} + b\frac{d}{dx} + b^2\right)1 = \frac{db}{dx}+b^2, \]
che è la terza entrata del tuo esempio, subito dopo "qualcosa di simile accade con...".
P.S.: questa referenza sembra più mathematician-friendly, ma penso sia sempre la stessa cosa https://mathoverflow.net/q/78813/13042
https://physics.stackexchange.com/quest ... -operators
Per esempio, il secondo operatore nel tuo esempio si può riscrivere come \(\frac{d}{dx}+b\), e tu stai calcolando
\[
\left( \frac{d}{dx} + b\right)^n 1.\]
Quindi puoi applicare le formule del post che ho linkato con \(\hat A=\frac{d}{dx}, \hat B=b\). Per esempio,
\[
\left( \frac{d}{dx} + b\right)^2 1 = \left( \frac{d^2}{dx^2} + \frac{db}{dx} + b\frac{d}{dx} + b^2\right)1 = \frac{db}{dx}+b^2, \]
che è la terza entrata del tuo esempio, subito dopo "qualcosa di simile accade con...".
P.S.: questa referenza sembra più mathematician-friendly, ma penso sia sempre la stessa cosa https://mathoverflow.net/q/78813/13042
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