Trasformata Laplace - dubbi generici
Ciao! Sto cominciando a leggere qualcosa riguardo la trasformata di Laplace, e ho già qualche dubbio.
Data una funzione $f(t)$, la trasformata di Laplace associata alla funzione $f(t)$ è:
$ L(f(t))=F(s)=int_(0)^(oo) f(t)e^-(st) dt $
Ad una funzione che ha dominio nel tempo, posso associare quindi un determinato numero complesso grazie alla trasformata di Laplace.
Le domande sono:
1) Scelta una determinata $f(t)$... per ogni differente numero complesso $s$, cosa rappresenta il numero complesso che la trasformata di Laplace restituisce?
2) Cosa rappresenta $s$ e cosa succede al variare di $s$?
Vorrei farmi un'idea generale sulle proprietà e la peculiarità di questa trasformata, perché è così importante!
Data una funzione $f(t)$, la trasformata di Laplace associata alla funzione $f(t)$ è:
$ L(f(t))=F(s)=int_(0)^(oo) f(t)e^-(st) dt $
Ad una funzione che ha dominio nel tempo, posso associare quindi un determinato numero complesso grazie alla trasformata di Laplace.
Le domande sono:
1) Scelta una determinata $f(t)$... per ogni differente numero complesso $s$, cosa rappresenta il numero complesso che la trasformata di Laplace restituisce?
2) Cosa rappresenta $s$ e cosa succede al variare di $s$?
Vorrei farmi un'idea generale sulle proprietà e la peculiarità di questa trasformata, perché è così importante!
Risposte
"impe":
Ad una funzione che ha dominio nel tempo, posso associare quindi un determinato numero complesso grazie alla trasformata di Laplace.
No, una funzione complessa.
Sì, d'accordo, ma tale funzione complessa restituisce un numero complesso.
"impe":
Sì, d'accordo, ma tale funzione complessa restituisce un numero complesso.
E cosa c'entra?
Leggi bene la teoria, che è meglio.
"impe":
Vorrei farmi un'idea generale sulle proprietà e la peculiarità di questa trasformata, perché è così importante!
Sai, quando non hai voglia di sbatterti con noiose equazioni differenziali qui c'è il rimedio
Nel Dominio di Laplace le derivate diventano moltiplicazioni
, non lo trovi divertente 
"gugo82":
[quote="impe"]Sì, d'accordo, ma tale funzione complessa restituisce un numero complesso.
E cosa c'entra?
Leggi bene la teoria, che è meglio.
[/quote]Ciao gugo, so che non si potrebbero postare foto. Però, in questo post, come in alcuni post di Fisica, penso che ciò possa aiutare per farmi comprendere.
_____________________________________
Questa è la funzione
$e^(-st)$
lungo l'asse temporale:
_____________________________________
Scegliamo una funzione $f(t)$.
Questa è la funzione
$f(t)e^(-st)$
lungo l'asse temporale:
_____________________________________
Questo è il valore complesso che la trasformata di Laplace restituisce, fissato un determinato numero $s$:
_____________________________________
Detto ciò, ripropongo le domande:
1) Scelta una determinata $f(t)$... per ogni differente numero complesso $s$, cosa rappresenta il numero complesso che la trasformata di Laplace restituisce?
2) Cosa rappresenta $s$ e cosa succede al variare di $s$?
Il problema è capire cosa significa per te "cosa rappresenta"... Potresti chiarire?
"gugo82":
Il problema è capire cosa significa per te "cosa rappresenta"... Potresti chiarire?
Se
$f(t)= e^(lambdat)$
con $lambda in CC$
Allora
$L(e^(lambdat))=F(s)= 1/(s-lambda)$
Se io ho una combinazione lineare di funzioni esponenziali
$x(t)=sum_k^n e^(lambda_kt)alpha_kv_k$,
la trasformata di Laplace permette di esprimere questa combinazione lineare di funzioni esponenziali come combinazione lineare di funzioni razionali
$L(x(t))=F(s)=sum_k^n 1/(s-lambda_k)$
Nel mio caso, la combinazione lineare di funzioni esponenziali $x(t)$ rappresenta la risposta libera di un sistema dinamico.
Riesco a figurarmi nella mia mente cosa rappresenti, cosa sia la risposta libera di un sistema dinamico.
Non riesco tuttavia a comprendere in che modo possa essere così utile associare questa combinazione lineare di funzioni razionali al mio sistema dinamico. E non riesco neanche a comprendere l'utilità, il significato di quel parametro $s$.
Non c'è un'associazione univoca, perché ad una singola $x(t)$ posso associare infinite $L(x(t))$ (tante quanto sono $s$).
In generale, la trasformata di Laplace non ha un'immediata interpretazione fisica.[nota]O, almeno, non credo ce l'abbia. Se qualche Fisico ne è a conoscenza, potrebbe anche intervenire a smentirmi e gli sarei grato.[/nota]
Tuttavia, la trasformata è, in un certo senso, un analogo nel continuo dell'espansione in serie di McLaurin.
Infatti, se prendiamo la generica espansione in serie (modifico un po' la notazione usuale, senza alterare la sostanza):
$F(x) = sum_(n=0)^oo f(n) x^n$
(i coefficienti $f(n)$, come noto, si esprimono in termini di derivate di $F$ calcolate in $0$) e passiamo alla versione continua sostituendo un integrale sulla variabile $t$ alla sommatoria su $n$ otteniamo:
$F(x) = int_0^oo f(t)\ x^t\ "d" t$;
se la funzione $f$ non è troppo "brutta"[nota]Ad esempio limitata, ma basta anche a crescita polinomiale.[/nota], l'integrale ha chance di convergere se $x<1$ (in caso contrario, l'integrando può esplodere in $oo$), quindi si può sostituire $x = e^(-s)$ con $s>0$ ed ottenere proprio:
$F(s) = int_0^oo f(t)\ e^(-st)\ "d" t$
che è la definizione classica della trasformata sulla semiretta $s>0$.
Tuttavia, la trasformata è, in un certo senso, un analogo nel continuo dell'espansione in serie di McLaurin.
Infatti, se prendiamo la generica espansione in serie (modifico un po' la notazione usuale, senza alterare la sostanza):
$F(x) = sum_(n=0)^oo f(n) x^n$
(i coefficienti $f(n)$, come noto, si esprimono in termini di derivate di $F$ calcolate in $0$) e passiamo alla versione continua sostituendo un integrale sulla variabile $t$ alla sommatoria su $n$ otteniamo:
$F(x) = int_0^oo f(t)\ x^t\ "d" t$;
se la funzione $f$ non è troppo "brutta"[nota]Ad esempio limitata, ma basta anche a crescita polinomiale.[/nota], l'integrale ha chance di convergere se $x<1$ (in caso contrario, l'integrando può esplodere in $oo$), quindi si può sostituire $x = e^(-s)$ con $s>0$ ed ottenere proprio:
$F(s) = int_0^oo f(t)\ e^(-st)\ "d" t$
che è la definizione classica della trasformata sulla semiretta $s>0$.
Grazie mille gugo. Ottimo parallelismo.
Ammetto che quel parametro $s$ continua ad infastidirmi un po' a livello mentale. Non so, forse devo ancora digerirlo.
Ammetto che quel parametro $s$ continua ad infastidirmi un po' a livello mentale. Non so, forse devo ancora digerirlo.
@impe: quei disegni sono fatti male, ignorali. Già il grafico di $e^{-st}$ è sbagliato. Quella è una funzione reale, perché gira su e giù nel piano complesso?
Se proprio vuoi vedere dei video, ho visto che nel canale reddit di 3blue1brown consigliano questo:
https://youtu.be/ZGPtPkTft8g
Ma non l'ho visto e non garantisco. In generale, la mia opinione è che il materiale matematico su YouTube è quasi ovunque spazzatura, con qualche eccezione. Le eccezioni possono essere di livello davvero spettacolare.
Se proprio vuoi vedere dei video, ho visto che nel canale reddit di 3blue1brown consigliano questo:
https://youtu.be/ZGPtPkTft8g
Ma non l'ho visto e non garantisco. In generale, la mia opinione è che il materiale matematico su YouTube è quasi ovunque spazzatura, con qualche eccezione. Le eccezioni possono essere di livello davvero spettacolare.
grazie dissonance! Scusa se ti rispondo solo ora ma non avevo letto.
"dissonance":
@impe: quei disegni sono fatti male, ignorali. Già il grafico di $e^{-st}$ è sbagliato. Quella è una funzione reale, perché gira su e giù nel piano complesso?
Se proprio vuoi vedere dei video, ho visto che nel canale reddit di 3blue1brown consigliano questo:
https://youtu.be/ZGPtPkTft8g
Comunque $t$ è reale, ma $s$ è complesso.
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