Definizione Trasformata di Fourier partendo da Serie di Fourier
Ciao!
Non riesco a comprendere un passaggio della seguente definizione della trasformata di Fourier partendo dalla serie. Illustro il passaggio iniziale e poi evidenzio in grassetto la parte poco chiara.
Sia $f: RR->RR$ continua e sia $T>0$.
Si denota con $f_T$ l'estensione T-periodica della restrizione di $f$ all'intervallo $[-T/2, +T/2)$
In tale intervallo $f$ coincide con $f_T$ che, a sua volta, coincide con la sua serie di Fourier.
Definendo
$omega_T= (2pi)/T$
$F(nomega_T)= int_(-T/2)^(+T/2) f_T(x)e^(-iomega_Tnx) dx $
Posso scrivere la serie di Fourier come
$1/(2pi) sum_(n = -oo)^(n=+oo) F(nomega_T)e^(iomega_Tnx) omega_T $
___________
L'insieme ${nomega_T, n in ZZ}$ rappresenta una suddivisione di $RR$ di ampiezza $omega_T$.
Dato che $omega_T$ tende a zero per $T$ che tende a $+oo$,
la formula precedente può essere interpretata come un'approssimazione dell'integrale
$ F(omega)= int_( -oo)^( +oo) f(x)e^(-iomegax) dx $
$ 1/(2pi) int_(-oo)^(+oo) F(omega)e^(iomegax) domega $
___________
Mi è chiaro che alla fine si giunge alla definizione dell'antitrasformata di Fourier, che è appunto una candidata a rappresentare la funzione $f(x)$.
Quello che non capisco è il ragionamento con il quale si è giunti a ciò.
Perché facendo tendere $T$ a più infinito la formula rimane valida, e perché passando dal discreto al continuo in questo modo si ottiene proprio questa formula (facendo sparire $n$ ) ?
Non riesco a comprendere un passaggio della seguente definizione della trasformata di Fourier partendo dalla serie. Illustro il passaggio iniziale e poi evidenzio in grassetto la parte poco chiara.
Sia $f: RR->RR$ continua e sia $T>0$.
Si denota con $f_T$ l'estensione T-periodica della restrizione di $f$ all'intervallo $[-T/2, +T/2)$
In tale intervallo $f$ coincide con $f_T$ che, a sua volta, coincide con la sua serie di Fourier.
Definendo
$omega_T= (2pi)/T$
$F(nomega_T)= int_(-T/2)^(+T/2) f_T(x)e^(-iomega_Tnx) dx $
Posso scrivere la serie di Fourier come
$1/(2pi) sum_(n = -oo)^(n=+oo) F(nomega_T)e^(iomega_Tnx) omega_T $
___________
Adesso arriva la parte che non mi è chiara:
L'insieme ${nomega_T, n in ZZ}$ rappresenta una suddivisione di $RR$ di ampiezza $omega_T$.
Dato che $omega_T$ tende a zero per $T$ che tende a $+oo$,
la formula precedente può essere interpretata come un'approssimazione dell'integrale
$ F(omega)= int_( -oo)^( +oo) f(x)e^(-iomegax) dx $
$ 1/(2pi) int_(-oo)^(+oo) F(omega)e^(iomegax) domega $
___________
Mi è chiaro che alla fine si giunge alla definizione dell'antitrasformata di Fourier, che è appunto una candidata a rappresentare la funzione $f(x)$.
Quello che non capisco è il ragionamento con il quale si è giunti a ciò.
Perché facendo tendere $T$ a più infinito la formula rimane valida, e perché passando dal discreto al continuo in questo modo si ottiene proprio questa formula (facendo sparire $n$ ) ?
Risposte
Non è chiara la tua domanda. Ma non mi sembra la domanda corretta da porsi qua. La domanda corretta è quella inversa; presa l'antitrasformata di Fourier, cosa succede se la approssimo con una somma di Riemann? Ah-ha: viene fuori una serie di Fourier. E' qui che devi investigare.
Inizialmente $F$ è funzione di $nomega_T$.
$n in ZZ$, $omega_T in RR$.
$omega_T$ è un parametro fissato ed $n$ è la tua variabile indipendente.
Facendo tendere $T$ a $+oo$ , $omega_T$ tende a zero. Puoi fare questo semplicemente perché non hai fatto nessuna assunzione su $omega_T$ e su $T$.
Cosa succede facendo ciò? sull'asse dei numeri reali, anziché avere $n$ intervalli di ampiezza $omega_T$, ne hai infiniti di ampiezza infinitesima... stai passando dal discreto al continuo.
La funzione $F$ anziché essere funzione di una variabile "discreta" ($nomega_T$), diventa funzione di una variabile reale $omega in RR$.
$n in ZZ$, $omega_T in RR$.
$omega_T$ è un parametro fissato ed $n$ è la tua variabile indipendente.
Facendo tendere $T$ a $+oo$ , $omega_T$ tende a zero. Puoi fare questo semplicemente perché non hai fatto nessuna assunzione su $omega_T$ e su $T$.
Cosa succede facendo ciò? sull'asse dei numeri reali, anziché avere $n$ intervalli di ampiezza $omega_T$, ne hai infiniti di ampiezza infinitesima... stai passando dal discreto al continuo.
La funzione $F$ anziché essere funzione di una variabile "discreta" ($nomega_T$), diventa funzione di una variabile reale $omega in RR$.
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