Esercizio convoluzione. Potreste verificare se ho fatto bene?
Ciao a tutti,
potreste controllare se il ragionamento è esatto?
E' da provare che se $\int_{R^n} e^{|x - y|^2} f(y) dy = 0$, con $f \in L^1$ allora $f=0$ quasi ovunque.
Questa è la mia soluzione:
sembra evidente che l'operatore in esame è una convoluzione tra una funzione $f \in L^1$ e la funzione $g = e^{-|x|^2} \in L^1$. Poiché entrambe $L^1(R^n)$ è possibile scrivere la loro trasformata di Fourier e in particolare vale
$\mathcal(F)(f $*$ g) = \bar f * \bar g$ (scusate non ricordo il simbolo tex per la trasformata)
Poiché per ipotesi la convoluzione è pari a $0$, segue che il PRODOTTO $\bar f * \bar g = 0$ e per la legge dell' annullamento del prodotto una delle due è zero.
Evidentemente la trasformata di Fourier della $g$ non è zero, e dunque sarà $f= 0$ quasi ovunque
potreste controllare se il ragionamento è esatto?
E' da provare che se $\int_{R^n} e^{|x - y|^2} f(y) dy = 0$, con $f \in L^1$ allora $f=0$ quasi ovunque.
Questa è la mia soluzione:
sembra evidente che l'operatore in esame è una convoluzione tra una funzione $f \in L^1$ e la funzione $g = e^{-|x|^2} \in L^1$. Poiché entrambe $L^1(R^n)$ è possibile scrivere la loro trasformata di Fourier e in particolare vale
$\mathcal(F)(f $*$ g) = \bar f * \bar g$ (scusate non ricordo il simbolo tex per la trasformata)
Poiché per ipotesi la convoluzione è pari a $0$, segue che il PRODOTTO $\bar f * \bar g = 0$ e per la legge dell' annullamento del prodotto una delle due è zero.
Evidentemente la trasformata di Fourier della $g$ non è zero, e dunque sarà $f= 0$ quasi ovunque
Risposte
Ciao a tutti,
non vorrei essere insistente, ma qualcuno riuscirebbe a rispondermi?
non vorrei essere insistente, ma qualcuno riuscirebbe a rispondermi?
Mi pare corretto.
grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo