Trasformata Fourier funzione fratta

[frat92ds]

Buongiorno a tutti,

Sto calcolando la seguente Trasformata di Fourier :
$1/(1+x^4)$

Ho dapprima trovato determinato i poli che sono 4: $zk=e^(pi/4+kpi/2$ con $k=0,1,2,3$
Successivamente applico il teorema dei residui nel semipiano superiore ( poi dovrei effettuare lo stesso procedimento nel semipiano inferiore) ma qui mi sorge un dubbio :
$Res( 1/(1+x^4), e^(pi/4))$ NON riesco a calcolarlo !
Mi blocco nel più banale dei calcoli.

Qualcuno potrebbe gentilmente mostrarmi come calcolare questo residuo in modo che possa proseguire ?
Grazie

[Studente Anonimo]

Trattandosi di poli del primo ordine:

$Res[f(z),z_0]=lim_(z->z_0)(z-z_0)f(z)$

Per esempio:

$Res[1/(z^4+1),sqrt2/2+isqrt2/2]=$

$=lim_(z->sqrt2/2+isqrt2/2)(z-sqrt2/2-isqrt2/2)/((z-sqrt2/2-isqrt2/2)(z+sqrt2/2-isqrt2/2)(z+sqrt2/2+isqrt2/2)(z-sqrt2/2+isqrt2/2))=$

$=lim_(z->sqrt2/2+isqrt2/2)1/((z+sqrt2/2-isqrt2/2)(z+sqrt2/2+isqrt2/2)(z-sqrt2/2+isqrt2/2))=$

$=-sqrt2/8-isqrt2/8$

Inoltre, poiché poli complessi coniugati hanno residui complessi coniugati, è sufficiente considerare i due poli nel semipiano superiore.

[pilloeffe]

Ciao frat92ds,

"frat92ds":
Ho dapprima trovato determinato i poli che sono 4: $ zk=e^(pi/4+kpi/2 $ con $ k=0,1,2,3 $

Comincerei con l'osservare che hai sbagliato le soluzioni, che in forma esponenziale sono $z_k = e^{i \pi/4 + k \pi/2} $, con $k = 0, 1, 2, 3$.
Hai ripetuto l'errore anche nel calcolo del residuo, infatti

"frat92ds":$Res(1/(1+x^4),e^{\pi/4}) $

Facendo uso della definizione della trasformata di Fourier col fattore moltiplicativo $1/\sqrt{2\pi} $, se non ho fatto male i conti si ottiene:

$F(\omega) = \sqrt{\pi/2} e^{- |\omega|/\sqrt{2}} sin(|\omega|/\sqrt{2} + \pi/4) $