Proprietà spazi di Hilbert

[Crii__1]

Salve ragazzi,

ho alcuni dubbi su due proprietà riguardanti gli spazi di Hilbert.

1-Si può dire che OGNI operatore lineare limitato (bounded) su uno spazio di Hilbert è auto-aggiunto?

Mi verrebbe da dire di sì, in quanto un operatore lineare limitato A su H (spazio di Hilbert) è auto-aggiunto se
(x,Ay)=(Ax,y) per ogni x,y in H. Esiste un operatore limitato che non soddisfa questa condizione?

2-OGNI sottoinsieme limitato di uno spazio di Hilbert è compatto.

Per questa proprietà c'è un teorema che dice "Un operatore lineare limitato su uno spazio di Hilbert è compatto se e solo se mappa sequenze che convergono debolmente in sequenze che convergono in modo forte". Quindi ho pensato che, se trovo una sequenza che converge debolmente ma non in modo forte posso dire che la proprietà 2 è falsa, giusto?

Fatemi sapere che ne pensate

[dissonance]

No, non tutti gli operatori limitati sono autoaggiunti. Non è difficile fare esempi, già in \(\mathbb R^2\) con l'usuale prodotto scalare. Gli operatori lineari su questo spazio corrispondono alle matrici quadrate \(2\times 2\) e gli operatori autoaggiunti corrispondono alle matrici simmetriche. Una matrice non simmetrica definisce un operatore lineare non autoaggiunto.

Quanto alla 2, è essenzialmente corretto. Io lo direi un po' diversamente; dovresti dimostrare che esiste un sottoinsieme limitato (ad esempio la sfera unitaria) che contiene successioni prive di estratte fortemente convergenti. Una successione che converge debolmente ma non fortemente è un esempio di una successione siffatta, qui sono d'accordo con te. Ti resta da esibire un esempio di una successione con questa proprietà.