Trasformata Laplace Cos (2t)

[frat92ds]

Buonasera a tutti,

Avrei un problema con la trasformata di Laplace del $cos(2t)$.

Scompongo il $cos$ tramite le formule di Eulero e applico la definizione di trasformata di Laplace. Mentre eseguo la risoluzione degli integrali perdo qualche termine e mi risulta un integrale divergente.
Non è che qualcuno mi potrebbe illustrare i passaggi per eseguire questa trasformata ?

Grazie e buona serata.

[pilloeffe]

Ciao frat92ds,

Onestamente non vedo la difficoltà...
Consideriamo dapprima un segnale esponenziale complesso

$f(t) :={(e^{at} \text{ se } t \ge 0),(0 \text{ se } t < 0):} $

con $a \in \CC $.
Dunque si ha:

$F(s) = \mathcal{L}[e^{at}] = \int_0^{+\infty} e^{at} e^{- s t}\text{d}t = \int_0^{+\infty} e^{- (s - a) t} \text{d}t = [- 1/(s - a) e^{-(s - a)t}]_0^{+\infty} = 1/(s - a)$

ovviamente per $\sigma := \text{Re}(s) > \text{Re}(a) $
Si osservi che nel caso particolare $a = 0 $ si ottiene la trasformata di Laplace del "gradino unitario" che è $1/s $, sempre per $\sigma := \text{Re}(s) > 0 $

Tutto ciò premesso, consideriamo $cos(at) $, nel caso particolare $a = 2 $ ovviamente si ottiene la trasformata richiesta:

$\mathcal{L}[cos(at)] = \int_0^{+\infty} cos(at) e^{- s t}\text{d}t = \int_0^{+\infty} \frac{e^{ia t} + e^{-i a t}}{2} e^{- s t}\text{d}t = $
$ = 1/2 \int_0^{+\infty} e^{-(s - ia)t} \text{d}t + 1/2 \int_0^{+\infty} e^{- (s + ia)t} \text{d}t = (1/2)/(s - ia) + (1/2)/(s + ia) = $
$ = s/(s^2 + a^2) $

naturalmente per $\sigma := text{Re}(s) > \text{Re}(ia) = 0 $
Nel caso particolare $a = 2 $ ovviamente si ha:

$\mathcal{L}[cos(2t)] = \int_0^{+\infty} cos(2t) e^{- s t}\text{d}t = s/(s^2 + 4) $

In modo del tutto analogo si ottiene:

$\mathcal{L}[sin(at)] = \int_0^{+\infty} sin(at) e^{- s t}\text{d}t = a/(s^2 + a^2) $

per $\sigma := \text{Re}(s) > 0 $

[frat92ds]

Grazie ! mi mancava ancora qualcosa sul calcolo degli integrali ! Grazie mille