Analisi matematica di base

Vorrei arrivare a dimostrare che \(\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{\ln(1+x)}{x^{1+\alpha}}\text{d}x = \frac{\pi}{\alpha \cdot\sin(\pi \alpha)} \) con $0< \alpha < 1$. Credo che il metodo corretto per calcolare questo tipo di integrali sia usare un percorso di integrazione di questo tipo nel piano complesso: dove sperabilmente i contributi di "cerchietto" e "cerchione" si annullano nel caso limite. Non sono esperto con il calcolo di integrali complessi, e prima di imbarcarmi nei conti ...

Ciao a tutti, sto studiando le serie e vorrei che qualcuno verificasse la correttezza di due esercizi da me svolti (in realtà per il primo non so come procedere). In entrambi devo studiare il carattere della serie assegnata. Esercizio 1 $ sum_(n = 1)^(+oo) sinn/(n^5-2n+5) $ Qui ho notato che la serie presenta anche elementi negativi, infatti il denominatore è sempre positivo e il numeratore presenta segni alterni per $ n->+oo $ (ad esempio sappiamo che $ sin4<0 $ ). A questo punto come determino ...

Salve ragazzi, avrei bisogno di una conferma/chiarimento su questo limite preso da una vecchia prova di Analisi I $\lim_{x \to \0}ln(cosx)/ln(e^x + sinx)$ Io ho pensato di sviluppare cosx, e^x e sinx con le formule di McLaurin ottenendo $cosx = 1-(x^2)/2 + o(x^3)$ $sinx = x-(x^3)/6 + o(x^4)$ $e^x = 1+x+(x^2)/2 + o(x^2)$ Semplificando un po il tutto e, al denominatore, incorporando $-(x^3)/6 + o(x^4)$ in $o(x^2)$ ottengo: $\lim_{x \to \0}ln(1-(x^2)/2 + o(x^3))/ln(1+2x+(x^2)/2 + o(x^2))$ Qua mi sono bloccato per un po' e l'unica cosa da fare mi sembrava applicare un'altra volta ...

Scusate mi sono trovato in difficoltà a calcolare il seguente limite con lo sviluppo di Taylor: $lim_(x->0)(x^2-sin^2x)/(x^3(e^x-cosx))$ Sopratutto il mio problema è calcolare taylor del $sin^2x$ Io so che $sinx = x -x^3/6 +x^5/(5!) ... + o[x^?]$ L'o piccolo di che grado devo scriverlo sulla tabella che ho trovato c'è scritto alla 2n+2 ma ho visto che invece molti se fanno o piccolo di n ordine elevano l'o piccolo soltanto a n e non a 2n+2. Ok apparte questo come trovo taylor del seno al quadrato sapendo quello di seno? .-.

Ciao a tutti qualcuno potrebbe aiutarmi nella risoluzione di questo limite? $lim_(n_->oo) (nlog(1+2/n))^n*(1/2)^n$ Mi risulta sempre una forma indeterminata e non so quali passaggi eseguire per risolverlo!

salve a tutti, come da titolo ho un dubbio sul calcolo della derivata direzionale delle funzioni a piu variabili. nel mio libro c'è scritto che in questa procedura il vettore che da la direzione deve avere norma unitaria, invece su altri testi di esercizi si svolge il procedimento senza considerare la norma del vettore. questo vettore deve avere norma unitaria oppure no? grazie a tutti:)

Mi aiutate a continuare la dimostrazione di questo quesito: Se \(\displaystyle a,b,x,y \in N^0 \)si ha che \(\displaystyle a+bx \) e \(\displaystyle a+by \) sono numeri primi distinti, allora \(\displaystyle MCD(a,b)=1 \) come posso iniziare ? ho provato a isolare \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \) ma poi mi blocco..

Salve ragazzi... volevo porvi un quesito... Quando vado a risolvere limiti per confronti asintotici, bene o male essi mi riescono, ma sono sempre in dubbio sulla questione degli o piccolo. Il mio libro, ad esempio, nello svolgimento del limite $ lim_(x->0) (arcsinsqrtx -sqrtx)/(xsqrtx) $ scrive lo sviluppo dell'arcsin come $ arcsinsqrtx= sqrtx + (xsqrtx)/6 + o(x^2) $ Perchè scrive $ o(x^2) $ ? Non dovrebbe essere $ o(xsqrtx) $ ? Potete chiarirmi questa cosa? E' un problema di fronte al quale mi ritrovo spesso, anche quando svolgo ...

Buongiorno, qualcuno potrebbe spiegarmi passo passo come si risolve questo integrale improprio: [tex]\int_{0}^{1}xln\left | \frac{x}{x-1} \right |[/tex] grazie mille in anticipo

Salve ragazzi, oggi vi propongo un esercizio sul calcolo di un integrale, ho risolto tale integrale e il risultato (insieme al procedimento) mi sembra corretto, tuttavia secondo la soluzione del prof, il mio risultato è sbagliato, passiamo all'esercizio: Calcolare $ int_(T)^() 1/sqrt(x^2+y^2) dt $ ove T e la regione del primo quadrante sopra la bisettrice y = x e sotto la retta y = 1 Ok, inizio la risoluzione: dal testo dell'esercizio, capisco che passando in coordinate polari, avrò un angolo ...

Salve ragazzi, ho un po' di problemi con gli studi di funzioni... Limiti e derivate non sono grandi problemi, però quando mi trovo di fronte a studi di funzione un po' più complessi non riesco a mettere un insieme tutte le informazioni... Mi aiutate mostrandomi passo passo come svolgereste questo: $ f(x)=(e^(-2/x))(|x-1|) $

Salve mi sto preparando per il test di ammissione all'università che dovrò sostenere a fine gennaio, sul sito della mia università sono pubblicati alcuni quesiti, simili a quelli che saranno all'esame(con relative risposte corrette) vorrei sapere il motivo di alcune risposte! Esercizio 1) I lati uguali di un triangolo isoscele sono lunghi 5 cm, il terzo lato 8 cm. Indicato con θ uno dei due angoli uguali, si può affermare che: risposta corretta: sin θ = 3/5 Esercizio 2) Se il prodotto ...

Salve, quello che vi chiedo è un esercizio che spesso il prof mette nei suoi compiti di esame ma non riesco a capire bene come si risolve. l'esercizio è del tipo: Data una funzione F(x,y) dire nell'intorno di quali punti NON si puù esplicitare la x in funzione di y. Ho provato a cercare qualcosa su internet ed ho trovato che bisogna utilizzare il teorema delle funzioni implicite (anche chiamato teorema di Dini), ho provato a vedere il teorema (che comunque dovrò studiare per l'orale) ma non ...

Ecco un bell'integrale improprio: $ int_(0)^(+oo) ([log(1+1/(1+x))]^(1/2))/(sqrt(log(1+x))) dx $ La soluzione proposta nella dispensa divide l'intervallo di integrazione in $[0, 1]$ e$ [1, +oo]$. Su $[1, +oo]$ l'integrale diverge perché è asintoticamente equivalente a $1/(sqrt(xlogx))$, maggiorato a sua volta da $1/x^2$ che individua una serie armonica divergente. Fin qui tutto ok. Il mio dubbio è sull'intervallo [0, 1]; leggo: "su [0, 1] l'integrale converge, perché l'integranda è asintoticamente ...

Ciao a tutti ragazzi il mio problema è il seguente: non riesco quasi mai a capire cosa sostituire al dx quando faccio una sostituzione Se ad esempio metto $x=sint$ e quindi $t=arcsinx$. Quale dei due devo derivare per trovare il dt? Un mio amico mi ha consigliato di derivare ambo i membri e arrivare a questa situazione 1°caso) $dx*1=dt*(-cost)$ 2°caso(se derivo quello con l'arcsin) $dt*1=1/(sqrt(1-x^2))*dx$ Quello che non capisco è: al dx posso sostituire uno a scelta tra questi due ...

Ciao a tutti volevo chiedervi se nel limite che tende a +infinito $ limx-> + oo(x-e^x) $ si potesse direttamente dire che fa $ -oo $ per la gerarchia degli infiniti o bisognasse in qualche modo (e come) minorarla grazie mille

Mi trovo di fronte a questa serie di potenze: $ sum_(n = 0) x^(n^2)/(n!) $ Se a numeratore come esponente ci fosse $ n $ potrei tranquillamente utilizzare il criterio di Cauchy-Hadamard e procedere al calcolo del raggio di convergenza e quindi alla determinazione dell'intervallo in cui la serie converge, ma ritrovandomi $ n^2 $ come posso risolvere? Il procedimento è analogo? Grazie mille

Vorrei una mano a risolvere sto limite di successione: $lim_{n to +infty} sin(4n arctg(n)) $ Non mi viene in mente molto, è un limite di successione e penso proprio che esista, quindi o provo per assurdo ( assumo che esistano due sottosuccessioni che tendano a limiti diversi e arrivo all'assurdo, ma non ci riesco ). Oppure mi viene in mente un modo, ma mi pare molto inappropriato: $a_n = sin( 4n arctg(n) ) = - sin( 2n\Pi - 4n arctg(n) ) $ per la periodicià del seno Allora studio $ lim_{n to +infty} 2n\Pi - 4n arctg(n) $ Se riuscissi a risolverlo così non ci sarebbe ...

Salve, come da titolo, l'ultimo esame che ho affrontato mi chiedeva di calcolare MacLaurin di grado due, della funzione: $f(x)=16sin(x)/x +x$ salta subito all'occhio che $f(0),f^{(1)}(0),f^{(2)}(0),...,f^{(n)}(0)$ non sono definite perchè sono fuori dal dominio. come posso calcolare il polinomio di secondo grado? Attraverso il limite a zero? Qualcuno può dirmi come devo comportarmi?

Salve a tutti. Oggi mi è capitato questo esercizio di analisi 2: $ f(x,y) = int_(1)^(2) e^(xyt^2) dt $ dove è richiesto il dominio, i segni, il gradiente, la matrice hessiana, i punti critici, la natura dei punti critici e l'inferiore e superiore della funzione. Io non riesco a capire da dove partire per risolvere l'esercizio. Devo utilizzare la media integrale? non riesco proprio a venirne a capo. Grazie mille in anticipo