Integrazione per sostituzione
Ciao a tutti ragazzi il mio problema è il seguente: non riesco quasi mai a capire cosa sostituire al dx quando faccio una sostituzione
Se ad esempio metto $x=sint$ e quindi $t=arcsinx$. Quale dei due devo derivare per trovare il dt?
Un mio amico mi ha consigliato di derivare ambo i membri e arrivare a questa situazione
1°caso) $dx*1=dt*(-cost)$
2°caso(se derivo quello con l'arcsin) $dt*1=1/(sqrt(1-x^2))*dx$
Quello che non capisco è: al dx posso sostituire uno a scelta tra questi due risultati che trovo?
Se ad esempio metto $x=sint$ e quindi $t=arcsinx$. Quale dei due devo derivare per trovare il dt?
Un mio amico mi ha consigliato di derivare ambo i membri e arrivare a questa situazione
1°caso) $dx*1=dt*(-cost)$
2°caso(se derivo quello con l'arcsin) $dt*1=1/(sqrt(1-x^2))*dx$
Quello che non capisco è: al dx posso sostituire uno a scelta tra questi due risultati che trovo?
Risposte
Allora. Tu imponi questa sostituzione: $t=g(x)$, poi ti ricavi la $x$: $x=f(t)$. Ora $dx=dx*frac{d}{dx}x=f'(t)*dt$.
ti faccio un esempio:
$\int x*cos (x^2)dx$
tu poni $t=x^2$, ma ti interessa anche esprimere la x in funzione della t: $x= sqrt(t)$.
bene ora deriva: $frac{d}{dx} sqrt(t)= frac{1}{2*sqrt(t)}$... da cui $dx=frac{1}{2*sqrt(t)} dt$...
ti risulta cosí $\int sqrt(t)*cos t*frac{1}{2*sqrt(t)} dt= 1/2\int cos t dt= 1/2*sin t +k= 1/2 sin (x^2)+k$
poi si potrebbe anche esprimere dt in funzione di dx, a volte è comodo... Ma spesso risulta facile sostituire dx con qualcosa, dato che lo trovi già isolato il dx...
... Spero di essere stato chiaro... Se hai dubbi scrivi.
ti faccio un esempio:
$\int x*cos (x^2)dx$
tu poni $t=x^2$, ma ti interessa anche esprimere la x in funzione della t: $x= sqrt(t)$.
bene ora deriva: $frac{d}{dx} sqrt(t)= frac{1}{2*sqrt(t)}$... da cui $dx=frac{1}{2*sqrt(t)} dt$...
ti risulta cosí $\int sqrt(t)*cos t*frac{1}{2*sqrt(t)} dt= 1/2\int cos t dt= 1/2*sin t +k= 1/2 sin (x^2)+k$
poi si potrebbe anche esprimere dt in funzione di dx, a volte è comodo... Ma spesso risulta facile sostituire dx con qualcosa, dato che lo trovi già isolato il dx...
... Spero di essere stato chiaro... Se hai dubbi scrivi.
Il mio dubbio è avrei potuto anche scrivere dopo che ho posto $t=x^2$ che $dt=2x*dx$ quindi $dx = 1/(2x)*dt$ ?
"kobeilprofeta":
$dx=dx*frac{d}{dx}x=f'(t)*dt$.
Capisco che possa essere intuitiva, ma $d/(dx)$ è una notazione per la derivata, non una frazione, e non la si può trattare come tale. Quello che hai scritto non vuol dire nulla.
"Nicholas_ASR":
Il mio dubbio è avrei potuto anche scrivere dopo che ho posto $ t=x^2 $ che $ dt=2x*dx $ quindi $ dx = 1/(2x)*dt $ ?
Sì, e infatti ottieni lo stesso risultato. Manca solo un passaggio: nell'integrale in cui hai cambiato variabile vuoi esprimere la variabile "vecchia" ($x$) in termini di quella nuova ($t$). Basterà invertire la relazione $t=x^2->x=sqrt(t)$ e sostituire per ottenere lo stesso risultato di @kobeilprofeta.
ok ti ringrazio molto quindi posso scegliere io se derivare il t= o l'x= a seconda del caso in cui mi trovo e se mi semplifica o meno l'integrale esatto?
@frink
Non ho capito cosa ho sbagliato...
Non ho capito cosa ho sbagliato...
"Nicholas_ASR":
ok ti ringrazio molto quindi posso scegliere io se derivare il t= o l'x= a seconda del caso in cui mi trovo e se mi semplifica o meno l'integrale esatto?
Direi di sì. In ogni caso devi sempre isolare la variabile di sostituzione, che è il passaggio che mancava nella tua soluzione precedente. Allo stesso modo si risolve anche quello che hai scritto nel primo post.
@kobeilprofeta
[ot]forse ho mal interpretato, ma quella tue espressione mi è parsa un po' strana. Cosa hai fatto esattamente?
A prima vista mi era parsa una cosa che... qualcuno chiama il metodo Urang-Utang
[/ot]
Niente, ho scritto $dx*d/dx x$ e, dato che la derivata di x vale uno, è rimasto dx.
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