[Analisi II] Calcolare x in funzione di y
Salve, quello che vi chiedo è un esercizio che spesso il prof mette nei suoi compiti di esame ma non riesco a capire bene come si risolve. l'esercizio è del tipo: Data una funzione F(x,y) dire nell'intorno di quali punti NON si puù esplicitare la x in funzione di y.
Ho provato a cercare qualcosa su internet ed ho trovato che bisogna utilizzare il teorema delle funzioni implicite (anche chiamato teorema di Dini), ho provato a vedere il teorema (che comunque dovrò studiare per l'orale) ma non riesco a mettere in pratica quello che afferma il teorema.
Andiamo in ordine, per esempio nell'esercizio:
nell'intorno di quali punti $ x^3+x^2-y^2=0 $ non consente di esplicitare la x in funzione di y?
da quello che ho capito devo calcolare le derivate nella direzione della variabile da esplicitare, ovvero in questo caso x, vedere dove si annullano tali derivate ma poi non capisco come procedere.
Nell'esercizio proposto la derivata direzionale nella direzione di x è:
$ 3x^2+2x $ che si annulla per $ x=0 $ e per $ x=-2/3 $ .
di tali punti poi cosa me ne faccio?
Ho provato a cercare qualcosa su internet ed ho trovato che bisogna utilizzare il teorema delle funzioni implicite (anche chiamato teorema di Dini), ho provato a vedere il teorema (che comunque dovrò studiare per l'orale) ma non riesco a mettere in pratica quello che afferma il teorema.
Andiamo in ordine, per esempio nell'esercizio:
nell'intorno di quali punti $ x^3+x^2-y^2=0 $ non consente di esplicitare la x in funzione di y?
da quello che ho capito devo calcolare le derivate nella direzione della variabile da esplicitare, ovvero in questo caso x, vedere dove si annullano tali derivate ma poi non capisco come procedere.
Nell'esercizio proposto la derivata direzionale nella direzione di x è:
$ 3x^2+2x $ che si annulla per $ x=0 $ e per $ x=-2/3 $ .
di tali punti poi cosa me ne faccio?
Risposte
Nelle ipotesi del Teorema di Dini trovi anche che la funzione deve assumere valore nullo nei punti di inversione locale.
All'atto pratico questo significa che i punti di inversione della funzione formano un curva (in realtà è un insieme, gradiente nullo su $F^(-1)(0)$ è condizione sufficiente perché $F^(-1)(0)$ sia una curva, ma questa è un'altra storia). Da quei punti dovrai eliminare quelli di ascissa $0$ e $-2/3$, perché in quei punti sarà sì soddisfatta l'equazione $F(x,y)=0$ ma non sarà soddisfatta l'ipotesi sulla derivata.
Un consiglio personale: prima di approcciare gli esercizi, prova a studiare la teoria. Se non le dimostrazioni, almeno una lettura ben data del materiale aiuta molto!
Ciao!
All'atto pratico questo significa che i punti di inversione della funzione formano un curva (in realtà è un insieme, gradiente nullo su $F^(-1)(0)$ è condizione sufficiente perché $F^(-1)(0)$ sia una curva, ma questa è un'altra storia). Da quei punti dovrai eliminare quelli di ascissa $0$ e $-2/3$, perché in quei punti sarà sì soddisfatta l'equazione $F(x,y)=0$ ma non sarà soddisfatta l'ipotesi sulla derivata.
Un consiglio personale: prima di approcciare gli esercizi, prova a studiare la teoria. Se non le dimostrazioni, almeno una lettura ben data del materiale aiuta molto!
Ciao!
Grazie del consiglio, cercherò di seguirlo il più possibile.
Da quello che ho capito dalla tua risposta devo trovare i punti di inversione locale, giusto?
Da quello che ho capito dalla tua risposta devo trovare i punti di inversione locale, giusto?
In realtà, data questa consegna, devi trovare i punti di NON inversione locale. Ti dice già di porre la funzione uguale a $0$, così devi solo più calcolare la derivata e vedere dove si annulla. In tali punti non esiste la funzione che inverte la $y$ in funzione della $x$.
ok, però il prof mi da dei punti del tipo $ (x0,y0) $ come soluzione (scusa ma non riesco a mettere i pedici), mentre io con questo procedimento riesco a trovare solo le $ x0 $ , per vedere quali sono anche le $ y0 $ devo andare a sostituire il valore di $ x0 $ nella equazione?
Ovviamente sì.
Ok, Grazie mille!!!
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