Limite con o piccolo

[Nicholas_ASR]

Scusate mi sono trovato in difficoltà a calcolare il seguente limite con lo sviluppo di Taylor:
$lim_(x->0)(x^2-sin^2x)/(x^3(e^x-cosx))$
Sopratutto il mio problema è calcolare taylor del $sin^2x$
Io so che $sinx = x -x^3/6 +x^5/(5!) ... + o[x^?]$ L'o piccolo di che grado devo scriverlo sulla tabella che ho trovato c'è scritto alla 2n+2 ma ho visto che invece molti se fanno o piccolo di n ordine elevano l'o piccolo soltanto a n e non a 2n+2.
Ok apparte questo come trovo taylor del seno al quadrato sapendo quello di seno? .-.

[Brancaleone1]

"Nicholas_ASR":
Sopratutto il mio problema è calcolare taylor del $sin^2x$

Prendi la funzione $g(x)=sin^2 (x)$, la derivi il numero di volte necessario e trovi il polinomio di McLaurin.
Per quanto riguarda il resto secondo Peano basta che guardi a quale derivata non nulla ti sei fermato per calcolare il polinomio: se ad esempio ti fermi alla terza derivata allora o-piccolo vale $o(x^3)$, perché indica un resto di ordine superiore al terzo.

[Nicholas_ASR]

Ok comunque ho provato varie volte a risolvere il limite con gli o piccolo ma mi resta sempre una x al denominatore che mi annulla tutto e non riesco a toglierla.
Mi diventa $lim_(x->0)(x^4/3-2x^6/45+o[x^6])/(x^3(x^2+x^3/6+x^5/120+x^6/(6!)+o[x^4])$
Raccogliendo al numeratore alla fine mi resta $1/3$ ma al denominatore mi resta una x che mi annulla tutto mentre il risultato dovrebbe venire 1/3 qualcuno può dirmi dove sbaglio?

[Brancaleone1]

Il denominatore è sbagliato - ad occhio credo tu abbia dimenticato un pezzo dello sviluppo dell'esponenziale...
Posso confermarti che il risultato è $1/3$.

[Nicholas_ASR]

Si hai ragione ho dimenticato la x di primo grado dell'esponenziale ahaha