Definizione e teorema riguardanti la derivata direzionale

[dribusen]

salve a tutti, come da titolo ho un dubbio sul calcolo della derivata direzionale delle funzioni a piu variabili.
nel mio libro c'è scritto che in questa procedura il vettore che da la direzione deve avere norma unitaria, invece su altri testi di esercizi si svolge il procedimento senza considerare la norma del vettore.
questo vettore deve avere norma unitaria oppure no?
grazie a tutti:)

[Studente Anonimo]

Definizione: Sia

[math]f : A \to \mathbb{R}[/math]

, con

[math]A[/math]

aperto di

[math]\mathbb{R}^2[/math]

,

[math](x_0,\,y_0) \in A[/math]

,
e sia

[math]\hat{v} := (v_1,\,v_2)[/math]

un versore. Si dice derivata direzionale di

[math]f[/math]

rispetto
al versore

[math]\hat{v}[/math]

, nel punto

[math](x_0,\,y_0)[/math]

, la quantità:

[math]\begin{aligned}D_{\hat{v}}f(x_0,\,y_0) := \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0 + t\,v_1, \; y_0 + t\,v_2) - f(x_0,\,y_0)}{t}\end{aligned}[/math]

,
purché tale limite esista finito.


Nota: le derivate di direzioni

[math]\hat{v} := (1,\,0)[/math]

e

[math]\hat{v} := (0,\,1)[/math]

, essendo speciali,
in quanto calcolate rispettivamente lungo gli assi cartesiani ortogonali

[math]x[/math]

ed

[math]y[/math]

,
prendono il nome di derivate parziali. Il vettore che ha per componenti le derivate
parziali di

[math]f[/math]

in

[math]\small (x_0,\,y_0)[/math]

si dice vettore gradiente di

[math]f[/math]

calcolato in

[math]\small (x_0,\,y_0)[/math]

,
e solitamente si indica col simbolo

[math]\nabla f(x_0,\,y_0)\\[/math]

.


Teorema: Sia

[math]f : A \to \mathbb{R}[/math]

, con

[math]A[/math]

aperto di

[math]\mathbb{R}^2[/math]

,

[math]f[/math]

differenziabile in

[math](x_0,\,y_0) \in A[/math]

. Allora per ogni versore

[math]\hat{v} := (v_1,\,v_2)[/math]

esiste la derivata
direzionale

[math]D_{\hat{v}}f(x_0,\,y_0)[/math]

, e vale l'identità:

[math]D_{\hat{v}}f(x_0,\,y_0) = \nabla f(x_0,\,y_0) \cdot \hat{v}[/math]

,
in letteratura nota come formula del gradiente.


Tutto qui. ;)

[dribusen]

ok:) grazie mille per la risposta esaustiva:)...speriamo bene domani ho l'esame:):)