Limite con Taylor applicato più volte

[snower]

Salve ragazzi, avrei bisogno di una conferma/chiarimento su questo limite preso da una vecchia prova di Analisi I

$\lim_{x \to \0}ln(cosx)/ln(e^x + sinx)$

Io ho pensato di sviluppare cosx, e^x e sinx con le formule di McLaurin ottenendo

$cosx = 1-(x^2)/2 + o(x^3)$

$sinx = x-(x^3)/6 + o(x^4)$

$e^x = 1+x+(x^2)/2 + o(x^2)$

Semplificando un po il tutto e, al denominatore, incorporando $-(x^3)/6 + o(x^4)$ in $o(x^2)$ ottengo:

$\lim_{x \to \0}ln(1-(x^2)/2 + o(x^3))/ln(1+2x+(x^2)/2 + o(x^2))$

Qua mi sono bloccato per un po' e l'unica cosa da fare mi sembrava applicare un'altra volta Taylor usando la formula di ln(1+x) ma considerando come variabile tutto ciò che viene dopo 1 sia al numeratore che al denominatore, ma fermandomi a n=1 Ho ottenuto quindi:

$\lim_{x \to \0}(-(x^2)/2 - o(x^3)+o(-(x^2)/2 + o(x^3)))/(-2x -(x^2)/2 + o(2x+(x^2)/2+o(x^2)))$

Arrivato a questo punto, come devo considerare i due o piccolo enormi? La mia idea sarebbe, ma puramente in maniera intuitiva quindi senza sapere se il mio ragionamento sia corretto o no, di considerare il primo o piccolo come $o(x^2)$ e il secondo come $o(x)$ opure di nuovo come $o(x^2)$.
Come si può proseguire a questo punto? Sono corretti i miei ragionamenti fin qui? Come si può venir fuori da quel "pastrocchio" di o piccoli, c'è un ragionamento/proprietà particolare?

Grazie in anticipo

[ostrogoto1]

Numeratore:
$ ln(cosx)=ln(1-x^2+o(x^3))=-x^2+o(x^3) $
Denominatore [devi sviluppare al secondo ordine il ln non al primo come pensavi tu, perche' altrimenti perdi un x^2]:
$ ln(e^x+sin(x))=ln(1+x+x^2/2+x+o(x^2))=ln(1+2x+x^2/2+o(x^2))=2x+x^2/2-2x^2+o(x^2)=2x-3/2x^2+o(x^2) $

$ (ln(cos(x)))/ln(e^x+sin(x))=(-x^2+o(x^3))/(2x-3/2x^2+o(x^2))=(-x+o(x^2))/(2-3/2x+o(x))rarr0 $ per $ xrarr0 $

Se fosse stato necessario si sarebbe anche potuto sviluppare il denominatore se capita nella forma $ 1/(1+x) $
Gli o piccoli hanno delle regole di cui si discute qui: http://www.matematicamente.it/forum/sulle-proprieta-dell-o-piccolo-t49863.html

[francicko]

Probabilmenete si può fare anche semplicemente con gli asintotici, $lim_(x->0)(log(1-x^2/2))/log(e^x+x)=lim_(x->0)(log(1-x^2/2))/(log(e^x))=lim_(x->0)(x^2/2)/x=0$, magari mi sbaglio.