Esercizi sulle serie
Ciao a tutti,
sto studiando le serie e vorrei che qualcuno verificasse la correttezza di due esercizi da me svolti (in realtà per il primo non so come procedere). In entrambi devo studiare il carattere della serie assegnata.
Esercizio 1
$ sum_(n = 1)^(+oo) sinn/(n^5-2n+5) $
Qui ho notato che la serie presenta anche elementi negativi, infatti il denominatore è sempre positivo e il numeratore presenta segni alterni per $ n->+oo $ (ad esempio sappiamo che $ sin4<0 $ ). A questo punto come determino il carattere della serie? Mica posso affermare immediatamente che la sommatoria è indeterminata?
Esercizio 2
$ sum_(n = 1)^(+oo) [sin(1/n^(1/4))-(1/n^(1/4))]^2 $
Si nota subito che la serie è a termini non negativi e quindi è regolare.
Calcolando il limite per $n->+oo$ si verifica che il termine generale della serie è infinitesimo, e quindi non siamo ancora in grado di affermare se la serie è convergente o divergente.
A questo punto ho pensato di utilizzare gli sviluppi di Taylor del seno per determinare l'ordine di infinitesimo di
$ sin(1/n^(1/4))-(1/n^(1/4)) = $
$ = (1/n^(1/4)) - (1/n^(1/4))^3*(1/(3!))^3 + o(1/n) - (1/n^(1/4)) = $
$ = - (1/n^(1/4))^3*(1/(3!))^3 + o(1/n) $
che risulta essere $ alpha= 3/4 $. Quest'ultimo, che deve essere elevato alla seconda, mi da un infinitesimo di ordine $ alpha= 3/2 >1 $.
Applicando il criterio degli infinitesimi con p (esponente dell'infinito che moltiplichiamo al termine generale) $ p = 3/2$, verifichiamo che la serie converge.
Spero di essere stato chiaro nei vari passaggi, grazie in anticipo per l'aiuto
sto studiando le serie e vorrei che qualcuno verificasse la correttezza di due esercizi da me svolti (in realtà per il primo non so come procedere). In entrambi devo studiare il carattere della serie assegnata.
Esercizio 1
$ sum_(n = 1)^(+oo) sinn/(n^5-2n+5) $
Qui ho notato che la serie presenta anche elementi negativi, infatti il denominatore è sempre positivo e il numeratore presenta segni alterni per $ n->+oo $ (ad esempio sappiamo che $ sin4<0 $ ). A questo punto come determino il carattere della serie? Mica posso affermare immediatamente che la sommatoria è indeterminata?
Esercizio 2
$ sum_(n = 1)^(+oo) [sin(1/n^(1/4))-(1/n^(1/4))]^2 $
Si nota subito che la serie è a termini non negativi e quindi è regolare.
Calcolando il limite per $n->+oo$ si verifica che il termine generale della serie è infinitesimo, e quindi non siamo ancora in grado di affermare se la serie è convergente o divergente.
A questo punto ho pensato di utilizzare gli sviluppi di Taylor del seno per determinare l'ordine di infinitesimo di
$ sin(1/n^(1/4))-(1/n^(1/4)) = $
$ = (1/n^(1/4)) - (1/n^(1/4))^3*(1/(3!))^3 + o(1/n) - (1/n^(1/4)) = $
$ = - (1/n^(1/4))^3*(1/(3!))^3 + o(1/n) $
che risulta essere $ alpha= 3/4 $. Quest'ultimo, che deve essere elevato alla seconda, mi da un infinitesimo di ordine $ alpha= 3/2 >1 $.
Applicando il criterio degli infinitesimi con p (esponente dell'infinito che moltiplichiamo al termine generale) $ p = 3/2$, verifichiamo che la serie converge.
Spero di essere stato chiaro nei vari passaggi, grazie in anticipo per l'aiuto
Risposte
"pitagora11":
Esercizio 1
$ sum_(n = 1)^(+oo) sinn/(n^5-2n+5) $
Qui ho notato che la serie presenta anche elementi negativi, infatti il denominatore è sempre positivo e il numeratore presenta segni alterni per $ n->+oo $ (ad esempio sappiamo che $ sin4<0 $ ). A questo punto come determino il carattere della serie? Mica posso affermare immediatamente che la sommatoria è indeterminata?
Salve e buona domenica.
Per l'argomento della serie dei valori assoluti hai
$|sin(n)|/|n^5-2n+5| < 1/|n^5-2n+5| ~ 1/(n^5)$.
Questa converge e ricordo che se una serie converge assolutamente converge anche totalmente e... un'altra cosa che non mi viene in mente. A meno che non mi sbaglio con le serie di funzioni.
Comunque dovrebbe essere ok... no?
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