Sistema di equazioni differenziali
Salve a tutti.
Volevo chiedervi un suggerimento sul seguente sistema di equazioni differenziali:
$\{(a*y''(x)+b*s'(x)+c*z'(x)=0),(d*y'(x)+e*s''(x)+f*s(x)+h*z(x)=C),(j*y'(x)+l*s(x)+t*z(x)=W):}$
Dove $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$, $h$, $W$, $j$, $l$, $t$ sono delle costanti.
Ho pensato di risolverlo in questo modo.
Derivo la terza equazione ed ottengo:
$z'=-1/t(j*y''+l*s')$
Sostituendo nella 1):
$a*y''+b*s'-c/t*(j*y''+l*s')=0$
da cui
$y''=- (b-c/t*l)/(a-c/t*j)*s'=-\epsilon*s'$
A questo punto derivando la seconda equazione:
$d*y''+e*s'''+f*s'+h*z'=0$
$d*y''+e*s'''+f*s'-h/t*(j*y''+l*s')=0$
da cui
$(d-h/t*j)*y''+e*s'''+(f-l*h/t)*s'=0$
Rinominando:
$(d-h/t*j)=\alpha$ e $(f-l*h/t)=\beta$
e sostituendo l'espressione precedente di $y''$ in funzione di $s'$ arrivo a
$-\epsilon*\alpha*s'+e*s'''+\beta*s'=0$
da cui risolvo per trovare $s(x)$.
Vi sembra corretto il modo di procedere? Grazie in anticipo.
Volevo chiedervi un suggerimento sul seguente sistema di equazioni differenziali:
$\{(a*y''(x)+b*s'(x)+c*z'(x)=0),(d*y'(x)+e*s''(x)+f*s(x)+h*z(x)=C),(j*y'(x)+l*s(x)+t*z(x)=W):}$
Dove $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$, $h$, $W$, $j$, $l$, $t$ sono delle costanti.
Ho pensato di risolverlo in questo modo.
Derivo la terza equazione ed ottengo:
$z'=-1/t(j*y''+l*s')$
Sostituendo nella 1):
$a*y''+b*s'-c/t*(j*y''+l*s')=0$
da cui
$y''=- (b-c/t*l)/(a-c/t*j)*s'=-\epsilon*s'$
A questo punto derivando la seconda equazione:
$d*y''+e*s'''+f*s'+h*z'=0$
$d*y''+e*s'''+f*s'-h/t*(j*y''+l*s')=0$
da cui
$(d-h/t*j)*y''+e*s'''+(f-l*h/t)*s'=0$
Rinominando:
$(d-h/t*j)=\alpha$ e $(f-l*h/t)=\beta$
e sostituendo l'espressione precedente di $y''$ in funzione di $s'$ arrivo a
$-\epsilon*\alpha*s'+e*s'''+\beta*s'=0$
da cui risolvo per trovare $s(x)$.
Vi sembra corretto il modo di procedere? Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao Secco Jones,
Mi pare corretto. Adesso però per risolverla farei l'ulteriore posizione $u := s' $, così diventa del secondo ordine...
Mi pare corretto. Adesso però per risolverla farei l'ulteriore posizione $u := s' $, così diventa del secondo ordine...
Ad occhio direi cha va bene.
Ricordati che derivare ti "uccide" le soluzioni costanti; quindi occhio se devi scrivere la soluzione generale.
Poi, se tutti i coefficienti sono costanti (pure $C$, che manca dall'elenco) e se conosci un po' di teoria dei sistemi lineari del primo ordine a coefficienti costanti, puoi trasformare il sistema in un sistema del primo ordine introducendo qualche incognita ausiliaria ed usare l'esponenziale di matrice, gli autovalori e gli autovettori per ricavare l'integrale generale del sistema ausiliario.
Analogamente, se conosci la trasformata di Laplace, puoi usare quella.
Insomma, i sistemi a coefficienti costanti si risolvono in tanti modi, più o meno complessi... Vedi quello che più si adatta al caso tuo.
Ricordati che derivare ti "uccide" le soluzioni costanti; quindi occhio se devi scrivere la soluzione generale.
Poi, se tutti i coefficienti sono costanti (pure $C$, che manca dall'elenco) e se conosci un po' di teoria dei sistemi lineari del primo ordine a coefficienti costanti, puoi trasformare il sistema in un sistema del primo ordine introducendo qualche incognita ausiliaria ed usare l'esponenziale di matrice, gli autovalori e gli autovettori per ricavare l'integrale generale del sistema ausiliario.
Analogamente, se conosci la trasformata di Laplace, puoi usare quella.
Insomma, i sistemi a coefficienti costanti si risolvono in tanti modi, più o meno complessi... Vedi quello che più si adatta al caso tuo.
"gugo82":
Analogamente, se conosci la trasformata di Laplace, puoi usare quella.
Yes! Un bel sistemone lineare!
Qualche condizione iniziale e Laplace è perfetto IMHO.
Temevo a suggerirlo perché mi pare (negli anni in questo forum) che non sia un metodo particolarmente amato dai docenti...o sbaglio?
"Bokonon":
[quote="gugo82"]
Analogamente, se conosci la trasformata di Laplace, puoi usare quella.
Yes! Un bel sistemone lineare!
Qualche condizione iniziale e Laplace è perfetto IMHO.
Temevo a suggerirlo perché mi pare (negli anni in questo forum) che non sia un metodo particolarmente amato dai docenti...o sbaglio?[/quote]
Mi fu insegnato in un corso di metodo matematici la trasformata di Laplace per risolvere sistemi di eq. differenziali, ma sono passati anni e non sono fresco sulla cosa.
"gugo82":
Ad occhio direi cha va bene.
Ricordati che derivare ti "uccide" le soluzioni costanti; quindi occhio se devi scrivere la soluzione generale.
Poi, se tutti i coefficienti sono costanti (pure $ C $, che manca dall'elenco) e se conosci un po' di teoria dei sistemi lineari del primo ordine a coefficienti costanti, puoi trasformare il sistema in un sistema del primo ordine introducendo qualche incognita ausiliaria ed usare l'esponenziale di matrice, gli autovalori e gli autovettori per ricavare l'integrale generale del sistema ausiliario.
Analogamente, se conosci la trasformata di Laplace, puoi usare quella.
Insomma, i sistemi a coefficienti costanti si risolvono in tanti modi, più o meno complessi... Vedi quello che più si adatta al caso tuo.
Anche $ C $ è una costante ed anzi, nel mio caso si ha che $ C=0 $.
Ho risolto il sistema in questo modo:
$e*s''' + (\beta-\epsilon*\alpha)*s'=0$
Nel caso, i coefficienti sono tali che $(\beta-\epsilon*\alpha)=0$.
A questo punto $s'''=0$, da cui $s(x)=C1 * x^2 /2 + C2*x + C3$
Riprendendo la seconda equazione e sostituendo l'espressione di $z$, arrivo a scrivere che:
$d*y'+e*s''+f*s+h*(W/t - 1/t * (j*y'+l*s))=0$
$(d-h*j/t)*y'+e*s''+(f-h*l/t)*s+h*W/t =0$
Da cui, rinominando:
$(d-h*j/t)=\theta$ e $(f-h*l/t)=\gamma$, si ha
$theta*y' + \gamma * s + e *s'' + h*W/t=0$
$y'=-1/\theta * (h*W/t+\gamma * s + e * s'')$
$y'=-1/\theta * (h*W/t+\gamma * (C1 * x^2 /2 + C2*x + C3) + e *C1)$
$y=-1/\theta * (h*W/t *x+\gamma * (C1 * x^3 /6 + C2*x^2/2+ C3*x) + e *C1 *x) + C4$
Utilizzando l'espressione:
$z=W/t-1/t*(j*y'+l*s)$ trovo che:
$z=W/t-1/t*(j*(-1/\theta * (h*W/t+\gamma * (C1 * x^2 /2 + C2*x + C3) + e *C1))+l*(C1 * x^2 /2 + C2*x + C3))$
Ho risolto il problema in questo modo, ma mi sono venuti dei dubbi sulla bontà dei passaggi per il fatto che una volta determinate le funzioni, devo calcolare le costanti risolvendo un sistema di 14 equazioni in 14 incognite, ed utilizzo il metodo di Newton Raphson ma non riesco a trovarle numericamente.
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Ti ringrazio per la risposta.
Le equazioni mi derivano da un problema di meccanica dei continui che sto affrontando, un problema di elastoplasticità, da lì poi derivano le 14 equazioni in 14 incognite di cui parlo, ma avendo problemi di natura numerica, mi era venuto il dubbio sulla risoluzione del sistema di equazioni che ho riportato qui.
Come dicevo, nel mio caso si ha che la costante $C=0$ ed inoltre affronto prima il caso in cui il coefficiente $\beta -\epsilon*\alpha$ è nullo. Poi dovrei passare al caso in cui $C=0$ è sempre nullo ma $\beta -\epsilon*\alpha$ è diverso da zero invece, ed una volta lo considero positivo ed una volta negativo.
Le equazioni mi derivano da un problema di meccanica dei continui che sto affrontando, un problema di elastoplasticità, da lì poi derivano le 14 equazioni in 14 incognite di cui parlo, ma avendo problemi di natura numerica, mi era venuto il dubbio sulla risoluzione del sistema di equazioni che ho riportato qui.
Come dicevo, nel mio caso si ha che la costante $C=0$ ed inoltre affronto prima il caso in cui il coefficiente $\beta -\epsilon*\alpha$ è nullo. Poi dovrei passare al caso in cui $C=0$ è sempre nullo ma $\beta -\epsilon*\alpha$ è diverso da zero invece, ed una volta lo considero positivo ed una volta negativo.
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Ti ringrazio per tutti i suggerimenti.
Scusami se ho risposto con un po' di ritardo ma ho continuato a lavorarci.
Nel mio caso il calcolo delle costanti di integrazione diventavano 14, ciò deriva dal problema che sto affrontando. Tuttavia grazie a delle condizioni di simmetria riesco a diminuire il numero di incognite fino a portarle a 6. Così in questo caso sono riuscito a trovare le soluzione con il metodo di N-R. È stata dura ma alla fine ce l'ho fatta
Scusami se ho risposto con un po' di ritardo ma ho continuato a lavorarci.
Nel mio caso il calcolo delle costanti di integrazione diventavano 14, ciò deriva dal problema che sto affrontando. Tuttavia grazie a delle condizioni di simmetria riesco a diminuire il numero di incognite fino a portarle a 6. Così in questo caso sono riuscito a trovare le soluzione con il metodo di N-R. È stata dura ma alla fine ce l'ho fatta
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Ti ringrazio per l'ulteriore delucidazione. Non ho mai affrontato grossi problemi con i metodi numerici, li avevo solo visti nei vari corsi di base (analisi numerica ecc) quindi sono un po' nuovo in questi aspetti. In futuro potrà sicuramente tornarmi utile questa tua panoramica.
Grazie ancora
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