$QQ$ denso in $RR$

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compa90
compa90
28 feb 2023, 13:13
Buongiorno, vorrei provare a verificare che l'insieme dei numeri razionali $QQ$ è denso in $RR$.
Per il concetto di insieme denso faccio riferimento alla seguente definizione
$T$ denso in $RR$ se per ogni $a,b in RR $ con $a

Per dimostrare questa proprietà distinguo tre casi
1) $0
Per il terzo considero $q=0in QQ$, quindi dovrebbe andare bene.
Invece, il secondo, lo posso riguardare come conseguenza del primo.

Detto questo, inizio dimostrando il primo caso.

Sfrutto la proprietà di Archimede, la quale ricordo: Per ogni coppia $a,b$ di numeri reali positivi, esiste un intero $n$ per cui $na>b$.

Sia $0b$.
Similmente, $exists m in NN$ tale che $mb>na$.

Quindi valgono le seguenti maggiorazioni
$mb>na>b>a$

Segue
$frac{mb-a}{a}>(n-1)>frac{b-a}{a}$


Sia $k in NN$ tale che $k>frac{mb-a}{ab}>0$, moltiplico la precedente relazione per tale valore, dunque ottengo
$frac{mb-a}{ka}>frac{(n-1)}{k}>frac{b-a}{ka}$


Posto $q=frac{(n-1)}{k}$.
Mi verrebbe da dire che $q$ è un razionale, siete d'accordo ?
Supponendo che $q$ sia un razionale, allora devo verificare che
$frac{mb-a}{ka}a$


In effetti, la prima subito si verifica
$frac{1}{k}
Invece, per la seconda devo far vedere che $frac{b-a}{ka}=frac{b}{ka}-frac{1}{k}>a$, ora qui mi blocco.
Essendo $ -frac{1}{k}>frac{ab}{a-mb}$ allora
$frac{b}{ka}+frac{ab}{a-mb} > frac{1}{k}+frac{ab}{a-mb}$

$>frac{1}{k}+frac{a^2}{a-mb}>frac{1}{k}+frac{a^2}{b(1-m)}$

$>frac{1}{k}+frac{a}{(1-m)}>frac{a}{(1-m)}$


Quest'ultima quantità risulta essere minore di zero, dunque non è maggiore di $a>0$.

Ho sbagliato a maggiorare ?

Ciao
Risposte
compa90
compa90
28 feb 2023, 13:16
Mi sono dimenticato di chiedervi, potete consigliarmi un libro di topologia di tipo pratico, magari con qualche esercizio.
ViciousGoblin
ViciousGoblin
28 feb 2023, 15:57
Ho provato a seguire i tuoi calcoli ma francamente mi pare che alla fine non portino a nulla. Ma tu vuoi ricavarti da solo la dimostrazione o l'hai già vista da qualche parte e cerchi di ricostruirla? Perché mi pare che questo sia uno di quei casi in cui conviene leggere la dimostrazione e magari cercare di capirne l'idea.
Alla fine la cosa è abbastanza più breve di come la fai tu. Se consideri il caso $0
compa90
compa90
28 feb 2023, 18:50
Si ho visto su un altro forum ed ho cercato di rifarla a modo mio, però, non ci sono riuscito :( :(

Ora, se ho intuito quello che mi hai detto, supponendo che $0$0<1/m

Ora, $m>1/(b-a)$, quindi, di nuovo per la proprietà di Archimede si ha $n/(b-a)>m$, allora
$n(b-a)>n/m>b-a$


Dove sbaglio?
gugo82
gugo82
28 feb 2023, 21:39
E che ne sappiamo?
Mica hai finito... Se ti fermi a metà, senza capire se riesci a concludere o se ti blocchi, non riuscirai mai a capire se sbagli o se no.

Ad ogni buon conto, comunque stai andando verso il ciglio del burrone.
Prova a considerare la questione altrimenti: dato che $0< 1/m < b - a$, hai $mb - ma > 1$; ciò significa che tra $mb$ ed $ma$ cade almeno un numero... Continua tu. :wink:
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