Punti critici con dominio in valore assoluto
Ciao ragazzi, si è capito che il valore assoluto mi sta dando parecchie noie, difatti tanto per cambiare ho delle curiosità su questo esercizio che chiede di calcolare massimi e minimi assoluti della funzione.
$f(x,y)=x-3y$
$D={(x,y)€R^2 : |y|<=(|x|-1)^2 ; |x|<=1}$
Vi dico come ho approcciato, dunque per la definizione di valore assoluto si ha
$-1<=x<=1$
analogamente
$-(|x|-1)^2<=y<=(|x|-1)^2$
Sappiamo quindi che x varia tra -1 ed 1
La y invece varia tra quei valori che sembrano assomigliare ad una parabola,del tipo $y=x^2$
Non so però come comportarmi con il modulo.
Ho pensato di sostituire algebricamente i valori ad x e ad y e riportarli sul grafico, sarei però tentato di disegnare delle rette, invece sono delle curve (non so se mi sono spiegato, ho visto su mathway)
Moralmente, considerando ad esempio $y<=(|x|-1)^2$, come faccio a far uscire il grafico?
Grazie mille a chi risponderà!!!
$f(x,y)=x-3y$
$D={(x,y)€R^2 : |y|<=(|x|-1)^2 ; |x|<=1}$
Vi dico come ho approcciato, dunque per la definizione di valore assoluto si ha
$-1<=x<=1$
analogamente
$-(|x|-1)^2<=y<=(|x|-1)^2$
Sappiamo quindi che x varia tra -1 ed 1
La y invece varia tra quei valori che sembrano assomigliare ad una parabola,del tipo $y=x^2$
Non so però come comportarmi con il modulo.
Ho pensato di sostituire algebricamente i valori ad x e ad y e riportarli sul grafico, sarei però tentato di disegnare delle rette, invece sono delle curve (non so se mi sono spiegato, ho visto su mathway)
Moralmente, considerando ad esempio $y<=(|x|-1)^2$, come faccio a far uscire il grafico?
Grazie mille a chi risponderà!!!
Risposte
Ciao! Come hai già notato, si può scrivere equivalentemente $|x| \le 1$ come $-1 \le x \le 1$. Dunque, si può scrivere $D$ come segue:
$$D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ |y| \le (|x|-1)^2, -1\le x \le 1\}$$
Ma quindi, è:
$$D=D_1 \cup D_2$$
Con:
$$D_1 \cup D_2$$
$$=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ |y| \le (|x|-1)^2, 0 \le x \le 1\} \cup \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ |y| \le (|x|-1)^2, -1 \le x <0\}$$
$$=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ |y| \le (x-1)^2, 0 \le x \le 1\} \cup \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ |y| \le (-x-1)^2, -1 \le x <0\}$$
Ora, usando che $(-x-1)^2=(x+1)^2$ e scrivendo equivalentemente la condizione su $|y|$ come fatto prima per la condizione su $|x|$, si ha:
$$\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ -(x-1)^2 \le y \le (x-1)^2, 0 \le x \le 1\} \cup \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ -(x+1)^2 \le y \le (x+1)^2, -1 \le x <0\}$$
Ora puoi studiare separatamente i due insiemi, ossia puoi trovare i massimi e minimi di $f$ su ognuno di essi e trarre le conclusioni su tutto $D$.
$$D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ |y| \le (|x|-1)^2, -1\le x \le 1\}$$
Ma quindi, è:
$$D=D_1 \cup D_2$$
Con:
$$D_1 \cup D_2$$
$$=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ |y| \le (|x|-1)^2, 0 \le x \le 1\} \cup \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ |y| \le (|x|-1)^2, -1 \le x <0\}$$
$$=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ |y| \le (x-1)^2, 0 \le x \le 1\} \cup \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ |y| \le (-x-1)^2, -1 \le x <0\}$$
Ora, usando che $(-x-1)^2=(x+1)^2$ e scrivendo equivalentemente la condizione su $|y|$ come fatto prima per la condizione su $|x|$, si ha:
$$\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ -(x-1)^2 \le y \le (x-1)^2, 0 \le x \le 1\} \cup \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ -(x+1)^2 \le y \le (x+1)^2, -1 \le x <0\}$$
Ora puoi studiare separatamente i due insiemi, ossia puoi trovare i massimi e minimi di $f$ su ognuno di essi e trarre le conclusioni su tutto $D$.
Ciao RTorque,
Osserverei anche che la funzione data $z = f(x, y) = x - 3y $ è l'equazione di un piano ed ovviamente nell'origine $O(0, 0) $ si ha $z = f(0, 0) = 0 $. Quindi il massimo ed il minimo assoluti della funzione data si trovano sulla frontiera dell'insieme $D$ che puoi vedere qui.
Osserverei anche che la funzione data $z = f(x, y) = x - 3y $ è l'equazione di un piano ed ovviamente nell'origine $O(0, 0) $ si ha $z = f(0, 0) = 0 $. Quindi il massimo ed il minimo assoluti della funzione data si trovano sulla frontiera dell'insieme $D$ che puoi vedere qui.
Ok! E il modulo di x da dentro la parentesi elevata al quadrato lo posso togliere semplicemente considerando che il modulo è $x$ se $x>=0$ ed è $ -x$ se $x<=0$ ?
"pilloeffe":
Ciao RTorque,
Osserverei anche che la funzione data $z = f(x, y) = x - 3y $ è l'equazione di un piano ed ovviamente nell'origine $O(0, 0) $ si ha $z = f(0, 0) = 0 $. Quindi il massimo ed il minimo assoluti della funzione data si trovano sulla frontiera dell'insieme $D$ che puoi vedere qui.
Si il mio dubbio era proprio come arrivare a disegnare quel grafico. Ad ogni modo mi sorge un dubbio, il punto f(0,0) non ricade tra i punti interni? Come mai lo escludiamo?
"RTorque":
Si il mio dubbio era proprio come arrivare a disegnare quel grafico.
Beh, a questo non ho risposto perché ti ha già risposto compiutamente Mephlip e non mi sembrava il caso di tornare sulla questione: se però hai ancora dei dubbi naturalmente ne possiamo riparlare. Potresti anche dare un'occhiata ai calcoli (non solo al disegno) riportati nel link di cui al mio post precedente.
"RTorque":
Ad ogni modo mi sorge un dubbio, il punto f(0,0) non ricade tra i punti interni? Come mai lo escludiamo?
Sì, è interno al dominio $D$, ma non è né di minimo né di massimo: prova a vedere cosa accade imponendo $\nabla f = 0 $...
In particolare si vede che i massimi ed i minimi richiesti si trovano nei vertici di $D$:
- per $x = 0 $ (equazione dell'asse $y$) si ottengono i due punti $P_1(0, 1)$ e $P_2(0, -1)$ e si ha:
$ z(P_1) = - 3 $ (minimo) e $z(P_2) = 3 $ (massimo);
- per $y = 0$ (equazione dell'asse $x$) si ottengono i due punti $P_3(1, 0) $ e $P_4(- 1, 0) $ e si ha:
$ z(P_3) = 1 $ e $z(P_4) = - 1 $
"RTorque":
Ok! E il modulo di x da dentro la parentesi elevata al quadrato lo posso togliere semplicemente considerando che il modulo è $x$ se $x>=0$ ed è $ -x$ se $x<=0$ ?
Sì, l'idea di dividere così l'insieme $D$ è proprio per sbarazzarsi del modulo. Ricorda qualcosa?
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